兒童學(xué)會加減法前必備的六個數(shù)量概念

人類的思維演化，具有“不可逆”的過程，一旦進(jìn)化了，就不會在退到矇昧?xí)r代去思考問題。所以，對于成人來講，孩子就是另一種他們不可理解的生物，為什么理解“12345678910”就這么費(fèi)勁呢？雖然自己也同樣經(jīng)歷過認(rèn)識數(shù)字的過程，但是成人早就忘記自己的思維過程是怎樣的了，在元認(rèn)知方面（思考自己思考過程的能力）也并非大部分人長項(xiàng)。

今天我要來講講孩子是怎么理解“數(shù)量”的，這個過程都需要經(jīng)歷什么，要掌握哪些概念，幫家長來分析一下，應(yīng)該如何做數(shù)學(xué)啟蒙。

第一個概念：表征

最初孩子從日常生活中接觸到數(shù)字，他們從三塊糖，三個碗，三級臺階中，開始理解事物具有某種共性。他們開始理解“更多”的意義，如果經(jīng)常性進(jìn)行一一對應(yīng)，通過這種配對他們開始學(xué)會“數(shù)數(shù)”，這也是計(jì)數(shù)的第一步。通常父母發(fā)現(xiàn)，孩子有時候能夠比較數(shù)字大小，甚至2，3歲孩子，媽媽也會發(fā)現(xiàn)指著一堆2個物體，一堆3個物體，孩子可以分辨出3個物體的一堆更多，但是問2和3哪個大，就分辨不清，只能靠50%的正確率來猜測了。

這個最初階段，父母往往會產(chǎn)生一些錯覺，以為孩子認(rèn)識數(shù)字了，接下去就可以開始教加減法了。且慢，先看看接下去會發(fā)生什么吧～

關(guān)于數(shù)量表征，可以看這篇文章：

學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)為什么要拿塊真實(shí)的豆腐切切看說說“我愛你”

第二個概念：順序

在學(xué)會“數(shù)數(shù)”后，孩子可能在數(shù)我跳了幾個格子的時候發(fā)現(xiàn)，必須先數(shù)4，才有5，他們開始去記住這些數(shù)字的固定順序。我們要注意，孩子能夠背出1-100，并不代表孩子理解了數(shù)字的順序，我們所指的“順序”亦包含了大小的序列，即，孩子知道后面出現(xiàn)的數(shù)字比前一個數(shù)字大1，而要知道這點(diǎn)，孩子必須把數(shù)字始終與其對應(yīng)的物體數(shù)量關(guān)聯(lián)起來。所以，我們可以這樣理解，“數(shù)數(shù)字”與“計(jì)數(shù)數(shù)量”是截然不同的。

第三個概念：守恒性

對于“數(shù)量”的理解，首先是理解基數(shù)，基數(shù)五大原則告訴我們，“計(jì)數(shù)數(shù)量”時，不僅需要一一對應(yīng)去數(shù)，更需要不受“干擾”的數(shù)，不論物體怎么排列，數(shù)量是不會變化的。今天孩子正兒八經(jīng)坐在教室里數(shù)10顆珠子，明天，當(dāng)我們讓孩子數(shù)數(shù)街上白色的汽車有幾輛時，可能就尷尬地發(fā)現(xiàn)孩子重復(fù)在數(shù)，或者漏掉。當(dāng)我們把一堆糖果分散放著的時候，雖然數(shù)量沒有變，但是孩子偏偏認(rèn)為這堆糖果變多了。這些都需要較長的時間，才能讓兒童理解，守恒性之重要。

關(guān)于“基數(shù)五大原則”，請看：

珠心算與計(jì)數(shù)問題：學(xué)會了奔跑忘記了爬行人類就是一種善于進(jìn)化的生物

第四個概念：集合

很多孩子可能在父母的熏陶下，2歲多就開始數(shù)數(shù)了，但是成人可能沒有察覺到一點(diǎn)的是，盡管孩子嘴上在數(shù)，甚至對于3-4歲的孩子來講，要求一一對應(yīng)數(shù)也并不困難，但是他們并不“走心”，因?yàn)樗麄兤鋵?shí)并不知道自己數(shù)到最后的這個數(shù)字就是代表這堆物體的集合。年幼的孩子還沒有這個概念，要把數(shù)字與物體數(shù)量聯(lián)結(jié)起來。如果孩子沒有把5和5個物體這個集合聯(lián)結(jié)起來理解的話，那么他們始終不能真正理解5+4=？的問題。

下面這個故事來自于《學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的——課堂中的數(shù)學(xué)》一書

幼兒園小朋友對下面這個問題的回答：“如果你有四塊巧克力，別人又給了你三塊，現(xiàn)在你一共有多少塊巧克力？”

Alex皺了下眉，然后說“7”。當(dāng)問他是如何算出來的時候，他說：“4+4是8（一個手伸出四個手指，另一個手也伸出四個手指來表示）。但是我們只需要加三個（從一只手收回一個手指來表示），所以我得到7，7比8少1。所以答案是7.”

Sean舉起一只手的四個手指，然后低聲說，“4，再加3個，5，6，7”，Sean用正常的音調(diào)說“7”。當(dāng)問他是如何算出來的時候，Sean能夠清楚地表達(dá)他的策略，他說，“我從4開始，然后數(shù)5，6，7”（當(dāng)他往上數(shù)的時候，輕輕地敲了三下桌子，表示他在最初的集合中增加的數(shù)量）。

對于幼兒園老師來講，兩個孩子的表現(xiàn)都非常棒，都體現(xiàn)了很好的數(shù)感，但是他們可能并不知道兩個孩子在思維層面上的差異。這本書中詳細(xì)分析了象Alex和Sean這樣的五歲兒童在這個問題中能夠表現(xiàn)出來的最核心的五個部分，我現(xiàn)在用下圖來表示：

第四個概念極為重要，當(dāng)孩子可以在最后一個物體的“計(jì)數(shù)”和整個集合的“數(shù)量”之間形成聯(lián)系，他們才開始真正理解數(shù)字是不同于他們?nèi)粘Ｋf的其他物體的“名稱”。歸根結(jié)底，孩子們需要既能理解10由10個物體（10個1）構(gòu)成，又可以看成一個整體，一個集合（即1個10）。

第五個概念：抽象

可以想象，孩子需要經(jīng)歷多長時間，才能掌握上面四個概念，而期間，還有一個滲透在各個時期的重要概念在悄悄演化，這就是“抽象”能力?？瓷厦娴幕鶖?shù)五大原則中最后一項(xiàng)是：適用于任何數(shù)量的集合物體。簡單來講，就是指“什么東西是可數(shù)的”，我們需要提供很多經(jīng)驗(yàn)給孩子，來擴(kuò)大他們對此的理解，不僅僅是三個蘋果可以數(shù)，拍三下手也可數(shù)，聽到“咄咄咄”的敲門聲也可以數(shù)，這件事完全可以在學(xué)齡前完成，如果你并不急于教孩子加減法的話，其實(shí)你有足夠多的時間讓孩子接觸各種不同物體的數(shù)數(shù)，以便于他們可以從中抽象出計(jì)數(shù)的抽象原則。

在《如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感》一書中，史蒂夫（1983）提出了可數(shù)物體的概念，區(qū)分了五個難度等級：

感知單元：分散的可數(shù)物體，如孩子們會樹一堆紐扣。

圖像單元：不能實(shí)際應(yīng)用，但是可以通過回憶或想象進(jìn)行計(jì)數(shù)的物體（如孩子們在家所養(yǎng)的寵物）

行為單元：具體行為動作，如“手指的動作或上樓梯的動作”。

語言單元：讀數(shù)字的聲音（如讀8，9，10時所發(fā)出的聲音，根據(jù)聲音知道數(shù)了三個數(shù)字）。

抽象單元：要求孩子們?yōu)榻o定的數(shù)字和物體進(jìn)行配對。

在我的數(shù)學(xué)微課中，為了統(tǒng)一三個階段在計(jì)數(shù)上的概念，便于將不同題型融會貫通，我則是從六個維度上來談數(shù)量的表征與類比的。

第六個概念：結(jié)構(gòu)

對數(shù)的理解是一個漫長而漸進(jìn)的過程，發(fā)展到這里，對于一般兒童來講至少需要1-2年時間，也就是說假如你3歲開始讓孩子懵懵懂懂接觸數(shù)字，直到5歲的時候，他們才弄懂了“數(shù)字”與“數(shù)量”的區(qū)別，要是象上面故事中Alex或Sean那樣可以清晰說出自己思考過程的，則還需要在這兩年里有較好的元認(rèn)知能力的發(fā)展，同時還有關(guān)于語言能力的發(fā)展等等，兒童并非按部就班地在發(fā)展各個領(lǐng)域，他們總是穿插著不同能力以不同的速度在往前進(jìn)，能力相互之間還會有影響與互補(bǔ)。

如果我們希望兒童在學(xué)齡后可以輕松搞定四則運(yùn)算，甚至各種各樣的附加題，參加奧數(shù)競賽。就先不要急于將孩子投入題海中，這里有一個關(guān)鍵性概念需要好好搞清楚：結(jié)構(gòu)。

并不是到了運(yùn)算里面，我們才來談結(jié)構(gòu)，事實(shí)上，當(dāng)兒童開始接觸數(shù)量概念的時候，就已經(jīng)在結(jié)構(gòu)中了。我們前面談到集合概念，當(dāng)兒童知道5不僅僅是數(shù)五個物體，5本身就是一個整體，一個集合的時候，他們的思維就已經(jīng)在心理層面上勾畫“數(shù)的結(jié)構(gòu)”了，而這部分通過成人以圖式的方式展示出來，兒童就可以逐步內(nèi)化，并形成自己的心理意象了。

有一個標(biāo)志性的心理意象就是“數(shù)軸”，關(guān)于數(shù)軸可以有各種各樣的表示方法，并不一定是水平線，兒童在頭腦中假如具有數(shù)字不僅僅是一個固定的點(diǎn)，而且仿佛有一根線，數(shù)字之間是串聯(lián)的，可以通過移動使得數(shù)量變化，他們可以通過空間的表征，來理解物理上的增減意味著空間上的前后、上下或左右移動。這被稱之為真正的“心理運(yùn)算”。

到了這里，孩子們已經(jīng)具有真正進(jìn)行符號計(jì)算的能力了，而關(guān)于計(jì)算，才剛剛開始，我們將在以后繼續(xù)介紹，兒童在加減法領(lǐng)域里，是如何一步步走過來的，他們必須先從1-10開始，從＋1開始，到＋2，如同今天我們看到的以上分解，兒童從開始理解從一個數(shù)字往上累加計(jì)數(shù)開始，到他們知道14+13=27，整個過程中，可分解的單元。

當(dāng)你熟知這些細(xì)節(jié)的時候，你就有足夠信心和能力，開啟你的家庭數(shù)學(xué)啟蒙之路了～