淺談如何學(xué)好小奧幾何

上一篇《淺談錄播課的正確打開方式》主要分享了錄播課的使用方法，其實這種方法我只用了很短時間，因為對于錄播課來說，就算套讀和跨級，也是拼接起來的，即使只看了精華，切換時候會有一種割裂感。

 文章最后提到，如果想效果更好，家長可以親自授課，這樣知識點銜接更自然，互動更強，效率更高，但也是最費家長的方法，如果要達到一定效果需要花費不少心思。如果不打算采取這種方式的話，可以關(guān)閉頁面了，因為以下內(nèi)容一般家長很難看進去，也可能看不懂。

 在這篇分享中，我會以幾何為例，介紹家長如何親自授課，拿幾何分享的原因其實很簡單，因為我們是以模塊為單位集中學(xué)習(xí)，最近一個月內(nèi)每天研究幾何，正在收尾中，所以印象也比較深刻。

 法無定法，每個孩子的路線都不是一樣的，我分享的只是個人的心得，一些觀點有強烈的個人主觀色彩，各位家長僅供參考。

 01區(qū)別

 本文中的幾何特指小奧幾何而不是初中幾何，因為這兩個根本就不是一個體系。二者的解題思想和抓手幾乎沒有任何相同之處，所以那些希望學(xué)好初中幾何，然后再降維小奧幾何的做法，個人認為幾乎不可能。家長也可以試一下，在沒有學(xué)過小奧幾何的前提下，找?guī)椎?、5星題嘗試一下能否夠做出來。

 小奧重技巧輕計算，初中重計算輕技巧。初中里面有全等，小學(xué)里面是旋轉(zhuǎn)平移對稱切割和剪拼，初中里面是相似三角形，小奧里面是各種幾何模型，雖然都覆蓋了長度、角度、面積的知識點，但是側(cè)重點不一樣。

 還有一個區(qū)別就是難度問題，北京的中考題目因為過于簡單而上了熱搜，里面的幾何題幾乎就是口算題，而小奧的幾何題目難度上限可以非常高，因為命題老師可以源源不斷地炮制各種難題，或者從高階競賽中改編。

 因為篇幅有限，我在這里只分享幾何模型，因為這是高年級幾何的絕對重點，也是難點，一般在63學(xué)制的地區(qū)，這個模塊安排在4升5左右，和數(shù)論同時引入，是4年級行程問題之后，又一個可能會無從下手的知識點。首先我們來分析一下幾何容易卡住的原因。

 02原因

 首先說明，到了4升5開始，沒有一個知識點不是重點，沒有一個知識點不是難點。絕大多數(shù)人覺得幾何困難主要有知識點本身、機構(gòu)、孩子和家長四方面的原因。

 知識點本身：低年級和高年級的幾何區(qū)別非常大，幾乎完全就是一個全新的內(nèi)容。我在《淺談低年級和高年級奧數(shù)學(xué)習(xí)方法的區(qū)別》里面著重提過這個問題，知識點不一樣，學(xué)習(xí)方法也不一樣，所以在初次接觸之后都有有一個適應(yīng)期。也正是到了高年級之后，才開始真正接觸小奧的核心模塊。

 機構(gòu)：雖然孩子從來沒去過機構(gòu)學(xué)數(shù)學(xué)，但我對機構(gòu)的課程還是有一定了解。恕我直言，很多老師自己都是現(xiàn)學(xué)的，而且都沒學(xué)明白，完全不知道怎么講解才是正確的引導(dǎo)方法。

 我在《淺談網(wǎng)課的正確打開方式》中說過，他們當(dāng)年也沒有學(xué)過奧數(shù)，只是按照機構(gòu)的教研來講，能保證下限的同時，也限制了上限。我個人認為，機構(gòu)的教研方式只能照顧到大多數(shù)孩子，并不是最優(yōu)的方法，而最優(yōu)秀的孩子，其實也不全是機構(gòu)的培養(yǎng)結(jié)果。

 就算是很多名師，他們因為精力有限，很難把所有的細節(jié)都打磨到位，其實只是擅長某幾個模塊，幾何比較推薦C老師的課程，除此以外，L老師、 S老師、W老師、Z老師、R老師講的也還可以。

 之所以不具體說明是誰，主要因為他們的課程是相對的好，而不是絕對的好，肯定沒有想象的那么好。否則。同樣的資源學(xué)出來學(xué)生為什么不一樣呢？關(guān)鍵在于理解和執(zhí)行。不要期望看過一個老師或者幾個老師的課程，就能把這個一個模塊學(xué)通，這個是不可能的，關(guān)鍵在于自己的理解和融會貫通，每個老師只是給了你打開一個觀看的角度，每個角度都不太一樣，我們要從多個角度才能看到全貌。

 而其他其余老師，自己都沒學(xué)明白，里面不乏一些誤導(dǎo)的內(nèi)容。那么問題來了，孩子們都沒學(xué)明白，如果題目做不出來，如何跟家長交代保證續(xù)課率呢，于是老師們搞出了一些特殊的模型，比如蝴蝶、鳥頭、風(fēng)箏、燕尾、雙峰、沙漏、金字塔模型，做題時候直接往里面套就行了。可幾何是小奧里最講究靈活應(yīng)用的模塊，如果被這些模型限制住，怎么能應(yīng)對復(fù)雜的題型呢。

 孩子：孩子的原因主要是太浮躁，有的模塊需要思維活躍，而像幾何、行程、計數(shù)這種模塊需要沉淀和積累。這種要求本身就是矛盾的，所以對于絕大多數(shù)人來說，只能擅長某些模塊，不過這個因素是最容易克服的。

 很多家長把幾何對孩子天賦的要求看得太高了，這是一個因素，但沒有想象的那么重要，導(dǎo)引4星題目及以下，孩子基本不需要天賦，只要用正確的方法引導(dǎo)絕對可以做。只有做5星題的時候，才需要天賦和積累。如果認為幾何做不出來，是孩子的天賦不行或者是眼神不行的家長，無論是當(dāng)年作為學(xué)生還是現(xiàn)在作為家長，都沒把幾何學(xué)明白。

 家長：家長的因素很大，首先是追求進度，現(xiàn)在奧數(shù)幾乎就沒有不跨級的，提前接觸了這個模塊，如果不是天賦比較突出，或是積累的不夠，認知沒有到一定階段，在面對行程和幾何這類比較特殊的模塊時必然吃力。我建議孩子到了三、四年級再學(xué)效率比較高，我們提前學(xué)是因為別的模塊第一遍已經(jīng)差不多了。

 另外就是讓孩子報了很多的班，做了很多的題目。雖然套讀和刷題是必須的，但也要講究方法，既然幾何需要沉淀和積累，如果沒有理解，那么就該多思考，多畫圖，多總結(jié)，而不是去聽更多地課程，否則越聽越亂，萬一碰到二把刀老師，先入為主了錯誤的方法，后期很難糾正。

 經(jīng)常有家長在群里問，我家孩子某個知識點掌握的不好，有哪些練習(xí)冊可以做。這里面有一個認知上的問題，既然已經(jīng)知道薄弱點在哪了，就應(yīng)該研究基礎(chǔ)知識，把錯題搞明白，而不是去刷更多新的題，那不就是在強化你的薄弱點嗎。如果確實需要做題，除了導(dǎo)引之外，可以好好研究一下明心的資優(yōu)中的幾何部分。

 綜上，機構(gòu)的教法有問題，孩子不注意打好基礎(chǔ)，家長又盲目追求進度這幾個因素綜合在一起，造成了很多孩子小學(xué)幾何學(xué)不好的原因。

 03 應(yīng)對

 正式開始前，我們先來聊一下《幾何原本》，這本書建立起來的公理體系研究方式對后世有著深遠的影響。從這本書我們知道，再龐大的體系，再繁雜的理論，都可以從一系列的原理出發(fā)，然后通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和邏輯證明來獲得知識。這種思路也是我們學(xué)習(xí)小奧幾何的思路，只不過這個過程是孩子推導(dǎo)，老師和家長進行輔導(dǎo)。

 接下來，就是實操階段，有6個關(guān)鍵點，打好等高模型的基礎(chǔ)，多個模型一起講，拆圖，費曼學(xué)習(xí)法和一題多解和總結(jié)套路。接下來將逐個展開。

 打好等高模型的基礎(chǔ)。等高模型是所有幾何模型的基礎(chǔ)模型，這個機構(gòu)也會講，但是練的不太夠，這個基礎(chǔ)還要繼續(xù)強化一下。主要就是練習(xí)通過等分點來等分三角形。家長可以先演示一下如果通過多種方法來三等分三角形，然后讓孩子嘗試四等分，如果不能找出20種以上的方法就不能過關(guān)。

 前面的基礎(chǔ)打好以后，接下來由家長隨機出題，不停的對三角形進行切割，然后求任意區(qū)域占整體面積的比例。孩子練到看到圖形以后能夠直接手寫算式的程度，已經(jīng)練的差不多了?？梢赃x幾個圖讓孩子把三個角上的三角形面積都算一下，然后找規(guī)律，之后跟孩子說這個叫鳥頭模型。

 多個模型一起講。機構(gòu)的課程設(shè)置就是把多個模型分解，每次課程只講1-2種，然后再穿插其他模塊讓學(xué)生消化一下，過段時間再接著講其他模型。缺點就是知識體系完全被割裂，下次講復(fù)習(xí)過多時間肯定不夠，造成了拖堂或者課程后半段進度飛快。如果機構(gòu)和孩子都不復(fù)習(xí)，那么一開始就跟不上了，很難保證吸收效果。

 我的建議是“整個模塊學(xué)”，這樣短期內(nèi)的大量練習(xí)可以避免上述缺點。因為這些幾何比例模型本質(zhì)上就是等高模型與和比定理和差比定理（有的叫糖水法）的結(jié)合運用，研究的就是面積比和長度比的關(guān)系，所以可以多個幾何模型一起講，然后練習(xí)的時候用多個模型挨個上。

 比如，風(fēng)箏和燕尾本質(zhì)上就是一個模型，我和孩子習(xí)慣叫“叉子模型”，而沙漏和金字塔就是風(fēng)箏模型的特殊形式，在四邊形里面，求對角線交點位置就是風(fēng)箏，求對邊交點位置就是雙峰。這東西就應(yīng)該一起講，前面如果基礎(chǔ)扎實，到這塊接受起來應(yīng)該不會太難。值得一提的是，家長要注意引導(dǎo)的方式和技巧。

 節(jié)奏要按家長對知識點的理解和孩子的接受程度來，如果擔(dān)心孩子一下子無法消化，那么可以分兩次，將風(fēng)箏和燕尾和雙峰放一起，金字塔和沙漏在一起。這一步其實不會花太長時間，因為沒有新的知識點，只是將以前的基礎(chǔ)做了應(yīng)用。

 多個模型一起是關(guān)鍵，學(xué)完的結(jié)果就是當(dāng)孩子做題的時候，第一時間想的是如何通過面積比和長度比之間的對應(yīng)，而不是按照形狀去找模型，復(fù)雜的圖形都是多個模型混在一起的，你需要用哪個線段和面積，才去找通過某個模型才能最快最簡便地計算出來。

 把這些搞清楚，做90%的題目就已經(jīng)沒有問題了，如果想再拔高，那么定比分點定理、賽瓦定理、梅勞定理可以講一下，這些小奧范圍內(nèi)一般不講，但是有了前面的基礎(chǔ)，結(jié)論都能順利證明出來，這幾個定理如果掌握了，關(guān)鍵時候有的題可以直接秒，節(jié)省了復(fù)雜的計算過程，但是記住一個原則，如果你不知道是怎么推導(dǎo)出來的就不要用，因為不熟悉他們的范圍和適用條件。用的方法越高級，做題速度越快，但是對人的要求越高，如果沒有掌握清楚，一旦亂用還不如不學(xué)。

 拆圖。行程做題50%靠畫圖，幾何80%看畫圖。畫圖關(guān)鍵點就是拆圖，也就是把一個復(fù)雜的圖形，拆解成為一個一個的幾何模型，有幾個模型就拆成幾個圖，然后按逐個圖形去算。從最簡單的風(fēng)箏和燕尾開始拆，直到線段越來越多，拆分越來越復(fù)雜。

 拆圖的基礎(chǔ)是熟記各種模型，要達到條件反射的程度，這樣才能在遇到復(fù)雜的幾何圖形，能夠迅速看出來。一般機構(gòu)總結(jié)的幾何模型如下圖，都是單獨的模型，放到復(fù)雜圖形里就看不出來了，甚至圖中總結(jié)的那個核心方法都是有問題的。

 為了避免這種問題發(fā)生，我自己總結(jié)了一個萬能模型，如下圖，這個模型包括了小奧所有可能遇到的模型，也有雖然超綱但是有用的模型，平時可以讓孩子多練習(xí)，我只畫了一部分，看看從里面到底能拆出來多少個。

下圖是我的講義中關(guān)于拆圖的部分題目，不用關(guān)注題目細節(jié)，大概看一下如何從最基本的圖形開始，逐漸增加復(fù)雜程度，然后逐步分割，拆解，再利用對稱性，一步一步做出來。記得準(zhǔn)備3種顏色的筆。練習(xí)拆圖的最終目的是為了將來不拆圖，或者說是在腦子里面拆圖。

 費曼學(xué)習(xí)法。在《淺談小奧學(xué)習(xí)中的費曼學(xué)習(xí)法》里面專門說過，這里特別強調(diào)的是幾何一定要孩子多畫圖，題目最好重新抄一遍，光瞪眼絕對學(xué)不好，講完之后，把原始題目再抄一遍，然后讓孩子來講，直到熟悉為止。

 一題多解。幾何是最講究一題多解的模塊，如果每個題目只會一種解法，那么說明高度還是不太夠，因為你看到的只是個例，其實這些題目都差不多，習(xí)慣以后，4星及以下的題目，掃一眼就知道從哪里入手，5星題目可能需要拆圖。平時的目標(biāo)不是做出來題目來，而是用多少種方法做出來，考試時候選擇一個自己最熟練，計算量最小的方法去做。

 總結(jié)套路：套路我也總結(jié)了很多，而且比機構(gòu)的更加套路，無腦就能用，比如很多時候標(biāo)面積的份數(shù)的時候，經(jīng)常遇到無法整除需要擴倍的情況，但這個其實有有規(guī)律的，從哪個區(qū)域開始，設(shè)成多少份都是有套路的，還比如上面的萬能模型里面，除了那幾個模型以外，還有有幾個區(qū)域的面積也是存在比例關(guān)系。

 我從來不反對套路，套路是最后的總結(jié)，沒有總結(jié)就抓不住重點，但是不能一開始就教，因為知道了結(jié)果，孩子很難靜下心來再去推導(dǎo)。小奧幾何里面最套路的就是那個皮克定理，我沒來不用，用別的方法都能做出來。

 04總結(jié)

 數(shù)學(xué)是最講究邏輯的，沒個哪個題目是靠感覺做出來的，遇到難度大的知識點，應(yīng)對方法很簡單，先要知道怎么學(xué)習(xí)，然后投入時間就可以了。在這個學(xué)習(xí)過程中，家長永遠是最好的老師，無論是找錄播課，還是親自講。千萬不要把孩子推給一些不負責(zé)任的機構(gòu)，不過，線下課最省家長，只要坐教室外面刷手機就行了。