淺談如何學(xué)好小奧計數(shù)

計數(shù)是一個低門檻高天花板的模塊，人人都會，但很難做對。當(dāng)孩子學(xué)到了一定的階段后容易達(dá)到一個瓶頸，表現(xiàn)就是做題都有一點思路，可總是無法考慮全面，發(fā)現(xiàn)做錯后一看答案就懂，可如果自己的方法和答案的方法不一樣的話，往往就不知道自己錯在哪里了。如果你有以上的問題，那么這篇文章應(yīng)該可以解決大部分的問題。

之前的《淺談如何學(xué)好小奧幾何》和《淺談如何學(xué)好小奧行程》兩篇分享，側(cè)重于具體知識點層面的梳理，因為這兩個模塊相對來說比較簡單，如果基礎(chǔ)沒問題，很多題目都可以按部就班做出來，所以分享的細(xì)節(jié)比較多。

由于計數(shù)模塊的特殊性，這篇我側(cè)重于學(xué)習(xí)思路不說具體方法，因為難點不在于方法的學(xué)習(xí)而是運用。案例也不放太多，因為之前的每篇文章里面幾乎都有計數(shù)的案例。

01特點

小奧的計數(shù)無論是范圍還是難度，都比高考難很多。高中的排列組合相當(dāng)于是小奧部分內(nèi)容中低檔難度的題目。所以這個模塊我建議還是要深入學(xué)習(xí)，是少數(shù)幾個將來可以降維中學(xué)課內(nèi)的內(nèi)容。計數(shù)可以培養(yǎng)學(xué)生的有序思維能力，嚴(yán)謹(jǐn)思維、有條不紊的分析問題和解決問題的能力。這些都是中學(xué)生必須具備的能力。

做計數(shù)最重要的是什么呢，很多人都會說是“不重不漏”，這其實是一句正確的廢話，真知道了就肯定能做對了。除了細(xì)心外，計數(shù)主要是考察對一個題目的抽象能力。也就是讀完題目之后，能夠反應(yīng)出來這個題目和之前哪個模型最類似，整體上要用什么方法。具體做題中如何分類和分步，這其實是一種天賦，不過后天訓(xùn)練也可以獲得。

我覺得計數(shù)學(xué)不好的孩子，一般都是因為”懶“，這個懶包括兩層意思：

一個是行動上的懶，就是做題時候懶得枚舉，懶得寫過程，老是希望能瞪眼出結(jié)果。

一個是思維上的懶，就是就題論題，做完題目懶得總結(jié)。

02難點

不同模塊的“難”是不一樣的，比如組合的“難”，是沒見過幾乎做不出來，因為你很難想到那個方法。而計數(shù)正好相反，所有的方法都學(xué)過（因為就那么幾個），但是做題的時候往往不知道該用哪個。計數(shù)的“難”，更像是多個基礎(chǔ)知識點疊加后的結(jié)果，學(xué)習(xí)時候需要反復(fù)消化、吸收和沉淀。具體來說有以下幾個方面：

一、從實際問題中抽象出特定的數(shù)學(xué)模型

無論是什么計數(shù)問題，拋開表面，都能尋找一個對應(yīng)模型，找到模型以后，我們只需要研究這個模型即可。比如說幾何計數(shù)，題目問的是數(shù)這個圖里面到底有多少個三角形，可是一般我們都不關(guān)心三角形，而是數(shù)頂點或者邊。讓我們計算長方形數(shù)量，其實就是數(shù)有多少組的對邊。

另外很多題目，一字之差方法就完全不一樣，如果不注意審題，很可能直接用錯了方法。比如下面這幾道題目。

§  將6個相同的球放進(jìn)3個相同的盒子，不允許有空盒

§  將6個相同的球放進(jìn)3個不同的盒子，不允許有空盒

§  將6個不同的球放進(jìn)3個相同的盒子，不允許有空盒

§  將6個不同的球放進(jìn)3個不同的盒子，不允許有空盒

§  將6個相同的球放進(jìn)3個相同的盒子，允許有空盒

§  將6個相同的球放進(jìn)3個不同的盒子，允許有空盒

§  將6個不同的球放進(jìn)3個相同的盒子，允許有空盒

§  將6個不同的球放進(jìn)3個不同的盒子，允許有空盒

（答案分別為：3、10、90、540、7、28、122、729）

二、容易忽略隱藏的限制條件

這是解題時候常見的大坑，解決不好就容易“重”和“漏”，很多計數(shù)問題的題干都不長，看似只有1-2個限制條件，可當(dāng)實際做題的時候，就會發(fā)現(xiàn)在解題過程中，這個條件背后居然還有隱藏的條件。

這些隱藏條件，一般都是和大小、順序、染色先后、間隔、捆綁有關(guān)系。而如何在同時滿足這些條件的前提下，還能做到不重不漏（也可以用容斥解決）還是挺難的。

三、不同方法計算量相差比較大

一般情況下，老師或者答案只給1-2種方法，而計數(shù)幾乎每一道題目都有多重方法。自己知道的那種方法可能是常見的方法，但不一定是最優(yōu)的方法，或許本來就沒有最優(yōu)的方法，但一定有最適合理解的方法。

比如還是小球的題目，四年級導(dǎo)引第22講《計數(shù)綜合一》超越篇第1題的第4小問，這個答案是分了3種情況討論，我見過所有的老師也是這么講，這種做法只能說是中規(guī)中矩，但還是停留在了表面。

四年級導(dǎo)引第22講《計數(shù)綜合一》

下面我們來重新研究這道題目，題干里面說了球的數(shù)量足夠多，并且可以重復(fù)，那么就是屬于可重復(fù)性的組合問題，可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)數(shù)法，所以答案就是C（8,3）=56，方法熟練的話連圖都不用畫，口算即可。

如果我們總結(jié)一下，就是從數(shù)量足夠多的m種不同的元素中（每種至少n個），取出n個可以重復(fù)的元素進(jìn)行組合，那么總數(shù)就是C（m+n-1，n）種。

到這里還沒有結(jié)束，我們還可以換個角度考慮，假設(shè)6種小球分別取了a、b、c、d、e、f個，那么a+b+c+d+e+f=3，問題轉(zhuǎn)化為求這6個未知數(shù)有多少組自然數(shù)解，可以用插板法計算，答案也為C（8,3）。

通過這個例子我們看到，方法越簡單，那么分類越細(xì)致，在思考上也越少，但是計算量上會增大。有可能一道題目，有人寫了半張紙，分類了好幾種情況，而有的人寫了一個式子就列出來了。

方法越復(fù)雜通用型越強，雖然計算量少很多，可要考慮的問題也越多，也越容易出錯。一般情況下，除非你對自己非常有信心，我建議在計算量可以接受的前提下，優(yōu)先簡單方法。

四、很難驗證是否正確

這是計數(shù)的一大特點，也是計數(shù)題目正確率的低的主要原因之一。以至于我平時不做沒有答案的計數(shù)題。

03應(yīng)對

一、打好枚舉基礎(chǔ)

計數(shù)的關(guān)鍵在于枚舉能力，這對加乘原理、傳球法等的理解極其重要。乘法原理中乘法適用的前提就是，每一種情況都是一樣的才可以用乘法。如果情況不一樣，那么就得用加法，如果枚舉的基礎(chǔ)不行，后面沒有理由學(xué)好。我們都希望把一個問題利用幾個排列組合數(shù)輕松解決，實際上，大多數(shù)有難度的計數(shù)題目都是需要分類討論的。

計數(shù)是為了解決一個具體問題，答題者需要設(shè)計一個方案來解決這個具體問題。我們在設(shè)計方案的時候，一定要確保每一步都是沒有問題，枚舉就是確保我們方案的嚴(yán)謹(jǐn)性。

比如下面這道4年級導(dǎo)引第11講《加法原理與乘法原理》超越篇第7題，很多人估計連答案都看不懂。其實這道題的做法沒問題，就是作者只寫了完整答案的后半部分，前半部分沒寫出來，如果你枚舉的基本功非常好，那么一看答案就知道為什么要這么分類。

4年級導(dǎo)引第11講《加法原理與乘法原理》

只有把上一道題做明白了，枚舉的基本功才算是過關(guān)了。而下面這道題源自某年的大師賽，我個人猜測出題老師就是根據(jù)上面這道題目改變的，思路做法幾乎完全相同，如果上面的題目感覺沒問題，那就可以用這道題目檢驗一下。

二、錯題的打磨

有一種學(xué)會是自己以為的學(xué)會，有一種正確是答案的正確。每次都是記得正確的做法，而不知道自己錯在哪里，是解決不了問題的，特別是對于計數(shù)這種就是幾個知識點來回用的模塊，如果理解有偏差必然會做錯，沒出錯就是題目還不夠復(fù)雜。

不知道自己哪里錯了更可怕。所以計數(shù)就是不停地通過錯題來打磨自己的知識體系，目標(biāo)是讓自己的知識網(wǎng)絡(luò)盡量完整沒有漏洞。不要滿足只用一種方法做對，而是用多種方法。一旦發(fā)現(xiàn)了某一種方法的答案是錯誤的，那么就是學(xué)習(xí)提高的機會。做計數(shù)題最重要的是把哪里做錯了搞清楚了，而不是哪里做對了。

三、化歸思想

學(xué)習(xí)排列組合目的之一是培養(yǎng)將復(fù)雜問題簡單化的能力。遇到難題沒有思路的時候，一個常見操作是將問題通過分解和簡化解決。就從最基礎(chǔ)的1-2個數(shù)量開始研究，在這個過程中找規(guī)律，在研究了幾個情況后，往往就有思路了，這個就是前面說的不能“懶”。如果看不懂答案，那么將數(shù)字簡化，去除掉計算的影響后，更容易理解答案的思路。

在研究過程中，組合數(shù)公式最好掌握，掌握這些公式后，就會發(fā)現(xiàn)，很多種做法其實都是一種做法，只是我們選擇的方案不一樣，本質(zhì)上都是一回事。這兩個公式對于將來理解楊輝三角和二項式定理的系數(shù)也有很大幫助。

四、通過刷題融會貫通

沒有一定數(shù)量的題目來來支撐，前面的說法都是空談，只有做題才是檢驗水平的唯一標(biāo)準(zhǔn)。每當(dāng)看到一個題，不要把它往已經(jīng)有的方法里面去套，而是分析這個題到底考的是什么，那我用哪種方法做出來更合理。數(shù)量累計到一定階段必然會引起質(zhì)變。

我在前面提到，計數(shù)就是那么幾個方法來回用，之所以有那么多的題目，不過就是對應(yīng)的變化而已，所以我?guī)缀鯖]有提到具體方法，因為孩子學(xué)習(xí)缺的不是具體方法，而是在做題中如何“悟”這些方法。只做題不總結(jié)，就是用戰(zhàn)術(shù)上的勤奮來掩蓋戰(zhàn)略上的懶惰。

04總結(jié)

認(rèn)為學(xué)奧數(shù)只用于小升初，學(xué)完了就扔一邊的，我覺得是沒有真正體會到數(shù)學(xué)的精髓，抱有這種思想大概率學(xué)不好奧數(shù)。生活中有太多問題和數(shù)學(xué)相關(guān)，和計數(shù)相關(guān)的也非常多，引導(dǎo)孩子學(xué)以致用，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美和意，才是最大的收獲。