聊聊數(shù)學(xué)那些事（2）

上周寫的一篇關(guān)于數(shù)學(xué)的無聊文章沒有想到會被小花生網(wǎng)發(fā)布到微信公眾號，引起了很多爸爸媽媽的關(guān)注，這著實(shí)出乎我的意料。我收到了大量的評論和問題，所以我想應(yīng)該繼續(xù)把一些觀點(diǎn)和心得寫下來，回答大家的一些疑問，對某些觀點(diǎn)也可以進(jìn)一步闡明我的想法。

在開聊之前，有一點(diǎn)需要事先聲明一下，小花生微信號的標(biāo)題有誤，我并沒有在國際奧數(shù)大賽上獲獎(jiǎng)，我只獲得過奧林匹克物理競賽的獎(jiǎng)項(xiàng)，當(dāng)然當(dāng)年一直是中學(xué)奧數(shù)，奧物和奧化競賽班的學(xué)生。我寫的不是很清楚，讓編輯可能誤解了。

下面先把上次的那道小學(xué)四年級的數(shù)學(xué)題的答案和解題思路講一下，說明一下這只是一個(gè)快速簡單的不嚴(yán)格的解題思路，因?yàn)楫?dāng)時(shí)我在地鐵上，只能這么簡單的推理一把，嚴(yán)格的證明要比這復(fù)雜的多。限于篇幅和數(shù)學(xué)公式的文本編輯太麻煩，暫時(shí)先不把嚴(yán)格證明搬上來了。我希望大家多關(guān)注一下我的思路而不是答案，答案不重要。我個(gè)人認(rèn)為這還是一道出的比較好的奧數(shù)題，不是什么亂七八糟的腦筋急轉(zhuǎn)彎，也不是簡單的把中學(xué)數(shù)學(xué)提前搬給小學(xué)生做的那種。但是這畢竟是面向中學(xué)生且學(xué)有余力的學(xué)生的奧數(shù)題，而不是小學(xué)生應(yīng)該來搞明白的問題。

題目：動腦筋，下圖是由圓組成的一個(gè)五環(huán)，請將數(shù)字1-9填在五環(huán)中的九個(gè)空白處，使每個(gè)圓中所填數(shù)的和都相等，求這個(gè)相等的和的最大值和最小值。

答： 考慮到左右兩邊的兩個(gè)圓僅僅有兩個(gè)數(shù)字相加，中間的三個(gè)圓有三個(gè)數(shù)字相加，因此要得到相等和的最小值，必須把最大的9放到最邊上的圓中，否則9放在中間三個(gè)圓中得到的和必然大于9放在最邊上的圓中得到的和。同理次大的8也要放到另一邊最靠邊的圓中?？紤]到1和2是最小的兩個(gè)數(shù)，因此1和9，2和8組合起來放在最邊上的圓中等于10，所以和不會小于10。首先討論10是最小值的可能性，如果10是最小值，剩下的數(shù)字就是3，4，5，6，7，任意三個(gè)數(shù)字放入中間的圓得到的和都大于10，所以10不是最小值。因此繼續(xù)考察最小值是否可能是11，11可以被分成2和9，3和8，分別放到最邊上的兩個(gè)圓中，剩下的數(shù)字1，4，5，6，7，嘗試放到中間三個(gè)圓中，得到下面兩張圖的排列（其實(shí)是一樣的，因?yàn)閳D形是對稱的，第二張圖是第一張圖反過來排列），所以最小值是11.

現(xiàn)在來考察最大值，要得到最大值，8和9也必須放在最邊上的圓中，理由同上，因?yàn)?或者8放在中間的三個(gè)圓中，會使得中間圓的和大于最邊上的?？紤]到8和9是最大的兩個(gè)數(shù)字，組合為17，因此和的最大值必然小于17（不會等于17，否則另一邊的圓就沒有辦法放數(shù)字了），并且8和9要分別放在最靠邊的兩個(gè)圓中。首先考慮最大值為16的可能性， 16可以分為7和9，8和8兩個(gè)組合，因?yàn)?會出現(xiàn)兩次，所以16不可能為最大值。繼續(xù)考察15為最大值的可能性， 15可以分成6和9，8和7兩個(gè)組合，剩下的數(shù)字為1，2，3，4，5。這五個(gè)數(shù)字最大的3，4，5加起來放到中間的圓也只有12，所以無法保持相同的和，因此15也不是最大值。繼續(xù)考察14作為最大值的可能性，14可以分成9和5，8和6兩個(gè)組合，剩下的1，2，3，4，7，嘗試放到中間的三個(gè)圓中可以得到下面兩張圖的結(jié)果（同樣是對稱結(jié)構(gòu)），所以最大值是14。

看完解題思路和答案，大家可以清楚的發(fā)現(xiàn)這么幾個(gè)問題。首先整個(gè)過程中用的計(jì)算是非常少的，20以內(nèi)加減法水平。但是孩子算術(shù)算的再快再準(zhǔn)對解題也是毫無幫助的。其次我在分析過程中的思路大量使用了反證法，這是典型的邏輯推理，特別是9和8要放在最邊上的兩個(gè)圓中是解題關(guān)鍵思路，其實(shí)就是要減少變量的數(shù)目，這是核心思想，小學(xué)生要能理解和運(yùn)用是有困難的。最后就是最大值和最小值的討論，這是典型的高中需要培養(yǎng)的復(fù)雜問題的討論，這種討論對于高中生而言是必備的能力，但是對小學(xué)生而言太難掌握了。有興趣的朋友可以把這道題給學(xué)奧數(shù)的小學(xué)生做做看，但是注意你讓他/她自己解釋清楚思路看看，光有答案可不行。另外還是要強(qiáng)調(diào)一下，這只是一種簡單的推理，而不是嚴(yán)格的證明，嚴(yán)格的證明要用到更加復(fù)雜的中學(xué)數(shù)學(xué)工具，小學(xué)生就更加難以接受了。好了，下面繼續(xù)開聊如何學(xué)好數(shù)學(xué)，當(dāng)然核心觀點(diǎn)都是關(guān)于提高數(shù)學(xué)能力的，和應(yīng)試這種無聊話題關(guān)系不大。我的觀點(diǎn)其實(shí)就是來自于常識和自己的經(jīng)驗(yàn)，沒有什么高深的理論。喜歡的朋友可以看看，不喜歡的也就一笑了之，不用太在意。

問1：什么是數(shù)學(xué)的美？

答：伽利略說“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字”，所以數(shù)學(xué)是非常優(yōu)美的。所謂數(shù)學(xué)的美就是兩個(gè)字“簡單”，越簡單越美。這里數(shù)學(xué)的美有兩層含義，一層是很多數(shù)學(xué)問題的結(jié)論、定理是非常簡單但是卻意義很深的。例如勾股定理，簡單的一個(gè)公式就揭示出一個(gè)普遍規(guī)律。另外一層含義則是數(shù)學(xué)問題的證明或者解答過程是否簡潔。優(yōu)美的證明過程可以用一個(gè)縝密而簡單的過程解釋一個(gè)具有普遍意義的思想方法。例如方程概念的引入使得數(shù)學(xué)應(yīng)用的一些建模問題抽象為簡單的解一個(gè)等式。一個(gè)小學(xué)生一旦學(xué)會了用方程的概念來看應(yīng)用題，會發(fā)現(xiàn)很多應(yīng)用題的解答變的非常容易理解。又例如極限概念的引入和運(yùn)用到對變量的分析中，自然就推演出微分和積分的方法，從而使的我們研究變量的關(guān)系變的容易的多。所以我們常常會發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)問題雖然已經(jīng)被解決了，但是數(shù)學(xué)家還是會繼續(xù)研究是否有更加漂亮的解法，目的就是為了追求數(shù)學(xué)的美，為了追求更加普遍的意義。所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是追求真理之美的過程。這個(gè)問題的清楚認(rèn)識對于我們?yōu)槭裁磳W(xué)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，怎么學(xué)好數(shù)學(xué)有很大的意義。

問2： 為什么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要強(qiáng)調(diào)一道題目多種解法？

答：一道題目多種解法（一題多解）是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)非常好的方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的一個(gè)關(guān)鍵是學(xué)習(xí)過程和思路，答案是不重要的。但是數(shù)學(xué)問題的解決思路和過程絕對不是唯一的，相反是多種多樣的。從數(shù)學(xué)家的角度來看，不同的方法往往意味著不同的理論。而從學(xué)生的角度來看，不同的方法意味著思路的拓展和興趣的培養(yǎng)。這種方法看似費(fèi)時(shí)費(fèi)力，但是對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是非常關(guān)鍵的，長期訓(xùn)練效果顯著。我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育喜歡談標(biāo)準(zhǔn)答案，其實(shí)真正的數(shù)學(xué)根本沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，只關(guān)心你是如何到達(dá)那個(gè)結(jié)果的。通過一題多解，孩子很容易進(jìn)行不同方法的比較，從而找到最簡單的方法（也就是最美的解法），或者最具有普遍性的解法，或者最容易理解的方法。鼓勵(lì)孩子用不同的方法解題，他們對問題的理解和數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用就會越具有創(chuàng)造性和靈活性。例如就拿上面的那道奧數(shù)題來說，我的嚴(yán)格證明就運(yùn)用了另外的算法，整體思路也是減少變量的數(shù)目，但是我通過研究中間的三個(gè)圓的和，從而確定中間幾個(gè)位置的數(shù)量關(guān)系來解題的，好處是運(yùn)用數(shù)量分析證明嚴(yán)密，缺點(diǎn)是復(fù)雜不漂亮。我相信應(yīng)該還有更加嚴(yán)密且優(yōu)美的解法，有興趣的朋友可以繼續(xù)嘗試。說句題外話，真正的國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽是沒有標(biāo)準(zhǔn)答案的，每個(gè)參賽隊(duì)的方法都可能是不同的，最后的評分是由領(lǐng)隊(duì)來討論的。

問3： 為什么啟發(fā)式的教與學(xué)對于初學(xué)數(shù)學(xué)的人是個(gè)好方法？

答：數(shù)學(xué)能力不是天生就強(qiáng)的，是需要長期慢慢的培養(yǎng)的。剛剛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的孩子，語言能力有限，閱讀能力不強(qiáng)，邏輯思維還處于低級水平。讓他們一下就接觸復(fù)雜的邏輯推理是不可能理解的，容易產(chǎn)生畏難情緒。另一方面強(qiáng)行灌輸所謂標(biāo)準(zhǔn)答案更加不可取，孩子的學(xué)習(xí)積極性完全被抹殺，通過記憶和背誦來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)無異于思維自殺。家長和老師應(yīng)該啟發(fā)孩子自己動腦筋，想辦法，鼓勵(lì)他們一步一步的從簡單問題推導(dǎo)到復(fù)雜問題，甚至于是沒有學(xué)過的問題。下面的對話是我和剛上小學(xué)一年級的女兒的幾次數(shù)學(xué)輔導(dǎo)中摘錄的，希望對別的爸爸媽媽有一些啟發(fā)。當(dāng)然每個(gè)孩子情況不同，啟發(fā)的方式也是因人而異的。

父： 你們這幾天好像學(xué)習(xí)了進(jìn)位加法，能給我你的速算卷子嗎？

女：好的，可是我算的很慢，后面都沒有來得及做（哭臉一張）

父：沒有關(guān)系，爸爸小時(shí)候也算的很慢，讀大學(xué)時(shí)還要數(shù)手指頭呢。別擔(dān)心，爸爸教你。

女：（拿出卷子，5分鐘60道20以內(nèi)加法題目，1/3題目沒有來得及做，老師眼中典型的數(shù)學(xué)差生）

父：做的不錯(cuò)嘛，前面都對的，就是后面來不及做了，沒有關(guān)系。現(xiàn)在來做一下后面的吧，7+8=？你能告訴我一下你是怎么做的嗎？

女：等于15， 把8分成3和5，然后。。。。（憋了半天無響應(yīng)）

父：然后7和3怎么樣？

女：7和3加起來等于10，再和5加起來等于15。（終于想起來了）

父： 很好，你以后就要這樣完整的告訴我你是怎么想的，然后再告訴我答案。我問你為什么8要分成3和5啊？為什么不能分成4和4??？

女：因?yàn)?和7加起來等于10。

父：那為什么要有一個(gè)10呢？

女：。。。。。（長時(shí)間的沉默）

父：想想看10加幾等于幾??？

女：10加幾就是10幾。

父：簡單嗎？是不是10加幾是不用計(jì)算的,一看就知道了？

女：是的，所以10+5=15。很簡單。

父：如果8拆成了4和4，會這么簡單嗎？

女：不會，7+4=?不知道是什么。（很開心的樣子）

父：所以進(jìn)位加法關(guān)鍵要湊一個(gè)10，我們再做一道9+9=？

女：9可以分成8和1，1和9加起來等于10，10加8等于18。（開始得意忘形），那16+6等于多少??？（信心開始膨脹，準(zhǔn)備挑戰(zhàn)她老爸了）

父：你自己算算看呢？

女：老師沒有教過，我不會做。

父：沒有關(guān)系，你試試看，做錯(cuò)了爸爸不怪你。

女：23

父：錯(cuò)了，不過只差一點(diǎn)點(diǎn)。

女：22

父：你太厲害了，告訴我你是怎么做的。

女：16可以分成10和6， 6+6等于12，12加10等于22。

父：你的數(shù)學(xué)真厲害，20以上的加法也會了。為什么12+10=22？

女： 12可以分成10和2，10加10等于20， 20再加2等于22。

父：是不是進(jìn)位加法都是一樣的？很簡單吧。

女：是的，要湊10，10加幾就等于10幾很簡單。（以下省略一千字.。。。）

問4：為什么說數(shù)學(xué)最重要的是邏輯推理和空間想象能力而不是計(jì)算能力？

答：首先計(jì)算能力是數(shù)學(xué)能力的一部分，但是只是無關(guān)緊要的次要部分。盡管數(shù)學(xué)發(fā)展史上計(jì)算是一個(gè)重要的方向，但是那是在電子計(jì)算機(jī)發(fā)明之前的故事。古代人類有大量生活和工程計(jì)算的需要，因此圍繞計(jì)算領(lǐng)域出現(xiàn)了很多重要的方法和成果，例如圓周率的計(jì)算，對數(shù)和指數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用。但是自從電腦發(fā)明之后，計(jì)算數(shù)學(xué)早就開始轉(zhuǎn)移到算法的研究上了。其次，更多的數(shù)學(xué)問題其實(shí)和計(jì)算幾乎毫無關(guān)系，例如排列組合，概率論，幾何學(xué)。這些學(xué)科用到的計(jì)算最多就是加減乘除四則運(yùn)算，但是對于邏輯推理和空間想象能力要求極高。我是從事軟件研究工作的，算法是天天打交道的，可以說現(xiàn)代的算法和數(shù)字計(jì)算能力幾乎沒有什么關(guān)系，反而是多樣性的思維，縝密的邏輯推理，和空間想象能力對于算法創(chuàng)新和理解意義重大。還是回到上面那道奧數(shù)題，計(jì)算水平只有20以內(nèi)的加減法，現(xiàn)在一些幼兒園的“牛娃“算的都比我快，可是有人覺得他們能夠做這道題目嗎？

因此邏輯思維和空間想象能力才是從小需要認(rèn)真培養(yǎng)的。這兩種能力有先天的因素，但更重要的是后天的培養(yǎng)。邏輯思維和空間想象能力不僅僅只依靠數(shù)學(xué)培養(yǎng)，語文，音樂，繪畫無一不是在培養(yǎng)這些能力。 一個(gè)人從小就應(yīng)該從各種學(xué)科學(xué)習(xí)開始，系統(tǒng)性的逐步構(gòu)建起邏輯思維。這對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。而其中語文的重要性是不言而喻的，因?yàn)樗撬袑W(xué)科之母，很難想象一個(gè)連閱讀理解都有問題的人，怎么能找到問題，分析問題，回答問題。

落實(shí)到具體的內(nèi)容，我自己的經(jīng)驗(yàn)是，培養(yǎng)邏輯和空間想象力最好要讓孩子多觀察，多動手，多表達(dá)。具體做起來就是從學(xué)齡前兒童要多搭積木，變著花樣的玩積木（看圖搭積木，沒有圖自己搭積木），要看圖講故事（故事要盡量完整），多帶孩子接觸大自然，不要打斷他們的觀察，不要打斷他們的說話。讓孩子盡量在玩耍中接觸外部世界。推薦一套德國的邏輯玩具，“邏輯狗”，我和女兒在幼兒園階段玩了半年，感覺內(nèi)容難易適中，女兒很喜歡，做的也很不錯(cuò)。到了小學(xué)階段，還是要強(qiáng)調(diào)在玩中學(xué)，在生活中學(xué)。各種棋牌類游戲，樂高玩具，3D Puzzle，各種機(jī)械模型的拆和裝，自己編故事講故事，鼓勵(lì)孩子自己提問題并引導(dǎo)他們自己去分析和解決問題（這一點(diǎn)尤其重要，問題是最好的開始），等等都是培養(yǎng)邏輯和空間能力的好方法。中學(xué)階段以后，要教授和引導(dǎo)孩子自己完整的提問題，分析復(fù)雜問題，查找和比較不同的解決方案?？傊灰舷胫罅克?shù)學(xué)題，搞數(shù)字啟蒙就能培養(yǎng)什么邏輯思維能力。相反應(yīng)該把孩子眼睛，腦袋和手都調(diào)動起來，從形象思維入手解決抽象思維的問題，而不是因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象所以就要抽象的學(xué)，那是永遠(yuǎn)都學(xué)不好的。

坦白的說，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)是一個(gè)長期和緩慢的過程，這是由人的生理特性決定的，抽象思維能力要上了初中以后才能逐步成熟起來，嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)是要晚學(xué)而非早學(xué)的。所以在中學(xué)之前我們要做的是逐步的為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做邏輯思維的準(zhǔn)備，而不是早早的讓孩子學(xué)超過他們能力范圍的知識。那種以為學(xué)的多，學(xué)的深就是學(xué)的好的思想是害人不淺的?，F(xiàn)在流行的育兒“搶跑”方式，在真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是毫無用處的。

問5：我孩子數(shù)學(xué)課上都聽的懂，可是題目樣子一變就不會做了，這是什么原因？

答：免不了還是要回答幾個(gè)應(yīng)試的問題。其實(shí)這是孩子上課就沒有聽懂。什么是數(shù)學(xué)真正聽懂了，理解了？就是無論題目變成生么樣，我都知道你老師想考我什么。一個(gè)簡單的方法（這個(gè)方法我讀書時(shí)自己經(jīng)常用），就是同樣的題目、定理或者結(jié)論變換著問題問自己，看看自己是否都能回答。例如我女兒說她會7+8=15，其實(shí)不能算真懂加法了，我還問她那8+7=？ 8加一個(gè)不知道的數(shù)字等于15，那個(gè)不知道的數(shù)字是幾？你有8塊錢，爸爸給你7塊錢，你總共有幾塊錢？現(xiàn)在你給營業(yè)員15塊錢，一支筆要7塊錢，營業(yè)員要找給你多少錢？等等。最重要的是孩子要講出來這里面的關(guān)鍵思路或者核心思想是什么，當(dāng)然家長要引導(dǎo)，尤其對于比較小的孩子。一旦孩子自己能發(fā)現(xiàn)那個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，這就說明他/她真懂了。永遠(yuǎn)記住思考過程比答案重要的多。

問6：我孩子現(xiàn)在數(shù)學(xué)成績不好，該怎么辦？

答：這個(gè)問題太寬泛，不大好回答。因?yàn)榫唧w人和事情要具體分析，不能一概而論。我拿我自己的一個(gè)例子來說明，看看能否有啟發(fā)。我在讀大學(xué)和研究生時(shí)分別給準(zhǔn)備小升初考試，中考和高考的三個(gè)孩子補(bǔ)習(xí)過最后一個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)那個(gè)小學(xué)生是數(shù)學(xué)“學(xué)霸”，而另外一個(gè)初中生和一個(gè)高中生都是數(shù)學(xué)“學(xué)渣”。由于時(shí)間有限，我把他們所有近一個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)測驗(yàn)和考卷全部拿出來，把做錯(cuò)的題目全部過一變。我和孩子們一起分析后發(fā)現(xiàn)，那個(gè)“學(xué)霸”小學(xué)生數(shù)學(xué)很不錯(cuò)，就是很粗心，所以我就強(qiáng)迫讓他在計(jì)算時(shí)打個(gè)草稿，不許檢查，不許做的太快，必須一次成功。同時(shí)和他談心，會做的題目做錯(cuò)是不是很郁悶。幾個(gè)星期下來情況就有所好轉(zhuǎn)。而數(shù)學(xué)知識點(diǎn)則談的不多，適當(dāng)給他拓展了一下思路。而另外兩個(gè)孩子確實(shí)基礎(chǔ)比較差，問題主要是概念不清，不真正理解知識點(diǎn)，解題思路呆板。我的方法就是從頭來過，幫他們第一理清概念，第二反復(fù)錯(cuò)的題目整理思路，同時(shí)讓他們自己歸納思路和關(guān)鍵點(diǎn)，然后講給我我聽。通過不斷對他們提問，讓他們的腦子轉(zhuǎn)起來，讓他們自己審視自己的思路。人的潛力是很大的，一旦概念清晰了，自己開始動腦子整理思路了，數(shù)學(xué)成績立馬提高。最后三個(gè)孩子都在考試中考出比自己原先高的多的水平，上了自己心儀的學(xué)校。

羅羅嗦嗦又寫了6個(gè)問題，主要都是關(guān)于如何學(xué)數(shù)學(xué)，以及進(jìn)一步闡述我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理念的。我不是教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的數(shù)學(xué)老師，只是一個(gè)數(shù)理化學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)豐富的學(xué)生。我的切身經(jīng)驗(yàn)告訴我，數(shù)學(xué)不難，數(shù)學(xué)很美，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其樂無窮。但是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要有好方法，要以興趣為羅盤，揚(yáng)起邏輯思維的風(fēng)帆，享受思考的過程，直達(dá)真理的優(yōu)美彼岸。我想讓我的女兒能夠同樣享受我所享受過的數(shù)學(xué)樂趣。希望各位家長和老師也能幫助你們的孩子和學(xué)生享受追求真理的快樂。