我為什么提倡一題多解？

《題西林壁》 
 

宋·蘇軾
 

橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同。

不識廬山真面目，只緣身在此山中。

一題多解，簡單講就是同一個問題用不同的方法來解答；再具體些，就是同一個問題從不同角度、不同結(jié)構(gòu)形式、不同相互關(guān)系以不同思路來解答。

蘇軾的《題西林壁》這首詩，前兩句用“橫看”“側(cè)看”“遠看”“近看”“高看”“低看”形象地為我們展示了“一題多解”的精髓；后兩句則從反面說明，如果不從更高的角度去俯瞰問題，那是難以全面看清問題本質(zhì)的。

為什么要一題多解呢?

因為通過分析多種解法的優(yōu)劣和適用條件，一題多解可以突破許多人的認知天花板（理解與應(yīng)用），使認知層級提升到分析與評價的層次。

通過一題多解，學(xué)生能夠更全面地看問題，更深入地理解問題。

關(guān)于更多認知層級的介紹，可以參考我的文章《為什么孩子比別人努力，卻沒有別人優(yōu)秀？》。

但是為什么有些老師不喜歡一題多解而喜歡標準答案呢？原因也很簡單。一題多解？有些解答自己都看不明白，費那么大勁鼓勵干嘛？不如留點腦細胞干點別的?？梢哉f，標準答案大大降低了當老師的難度，減少了老師的工作量，當然，也限制了老師的高度。

這樣的老師，自己的認知天花板都突破不了，何談引導(dǎo)學(xué)生？

在沒有時間限制的條件下，不滿足于一種解法，盡量追求一題多解，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力有重要幫助，這比多刷幾道類似的題要有意義的多。

嘮叨這么多，下面就以一道題為例，說明一題多解的意義。

這道題很有意思，我給的三種不同解法正好體現(xiàn)了幾種不同的思考方法：連續(xù)問題離散化、概率與對稱思維、數(shù)形結(jié)合方法。

你明天約定與A、B兩人去咖啡館，你可以預(yù)期A會在8：00-12：00之間隨機到達，B會在6：00-10：00之間隨機到達，兩人在任何時間點到達的可能性相同（服從均勻分布），且兩人到達的時刻互不干擾（相互獨立），請問：

（1）A明天先于B到達咖啡店的概率有多高？

（2）A明天先于B一小時到達咖啡店的概率有多高？

乍一看，這題有點唬人。但一般而言，如果是離散的取值，古典概率問題都可以變成計數(shù)問題，從而有下面的近似解法一。

解法一：

先算出A和B所有到達的時刻組合數(shù)，然后算出A先于B到達咖啡館的時刻組合數(shù)，那么用后者除以前者即可得到A先于B到達的概率。

小學(xué)高年級的學(xué)生看到這個問題，不少人會假設(shè)A和B都在整分鐘的時刻點到達。

也就是說，限定A到達的時刻為：

8:00，8:01，8:02, …, 11:59, 12:00

總計：60×4+1=241個。

限定B到達的時刻為：

6:00, 6:01, 6:02, …, 9:59, 10:00

總計：60×4+1=241個。

因此，所有的到達時刻組合有241×241種。

而在這些組合中，A先于B到達的情況如下：

：

A 到達時刻

B 到達時刻

小計

8:00

8:01-10:00

120

8:01

8:02-10:00

119

…

…

…

9:59

10:00

1

總計

120+119+…+1

因此，A先于B到達的時刻組合一共有120+119+…+1=121×60種，從而，A先于B到達的概率為：

當然，這種解法最大的問題在于我們限制了A和B只能在整分鐘到達，這是不嚴謹?shù)?。實際上，A和B完全可以在一分鐘之內(nèi)的任何時刻到達。也就是說，把連續(xù)問題離散化存在精度丟失的風險。

解法二：

除了上面的解法，如果有敏銳的觀察力，這個問題還可以這么考慮：

A的到達時間為8:00-12:00,如果A在10:00-12:00之間到達，那么A不可能先于B到達，也就是這一半的情況A不可能先于B到達。

剩下考慮A在8:00-10:00間到達的情況。

此時，如果B在6:00-8:00間到達，那么A也不可能先于B到達，因此只有剩下的1/4種情況即B在8:00-10:00到達時，A可能先于B到達。

當A和B都在8:00-10:00到達時，兩人誰先誰后的可能性應(yīng)該一樣，因此，A先于B到達的概率為1/8。

整個分析過程可以畫成如下的樹形結(jié)構(gòu)。

當然，這個問題中，正好每個分支的可能性都是1/2，如果稍微改變一下數(shù)值，那么得稍微用點條件概率的乘法。

解法三：

第一種方法雖然能給出估計的概率，但問題是到達的時刻并不一定是整分鐘，后面還可以是8:03:01這樣的，甚至，還可以是1/10秒或更細的時間粒度。實際上，這就涉及到離散和連續(xù)的問題。到達的時間應(yīng)該是連續(xù)的任何值。這是不是讓我們聯(lián)想起了數(shù)軸上的點呢？數(shù)軸上的點可以表示整數(shù)，也可以表示任意的數(shù)。

因此，如果我們設(shè)A的到達時間為x，B的到達時間為y,那么A和B的到達時間組成一個二元組(x,y)，取值分別在區(qū)間[8:00-12:00]和[6:00-10:00]，從而，可以把它看成如下圖所示的平面上的一個點。在這個圖中，A先于B到達的區(qū)域為圖中橙色所示的區(qū)域，而剩余部分則為B先于A到達的區(qū)域，45°線段表示的是A和B同時到達的情形（注：線段是沒有面積的）。因此，計算A先于B到達的概率就轉(zhuǎn)換成了計算橙色區(qū)域面積占整個長方形的面積之比。顯見，這個比值為1/8，即A先于B到達的概率為1/8。

第二問中，要求A先于B一個小時到達，那45°的斜線還需要再往上平移1個小時，從而概率只有1/32。

可以看到，最后這種方法是數(shù)形結(jié)合的一個絕佳例子。

最后問一聲：這幾種解法，你們怎么看？歡迎留言。