這樣的學(xué)霸筆記，你敢領(lǐng)嗎？

昨晚刷到了某知名網(wǎng)校的抖音教學(xué)視頻，解法又把我給雷倒了。

問題是個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的題： 數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)正方形。

我們來看看這個(gè)號(hào)稱學(xué)霸妹子的講解。

用標(biāo)數(shù)法，橫著標(biāo)上1、2、3、4，豎著標(biāo)上1、2、3。

然后呢，用4×3，加上每個(gè)數(shù)字再減去1的乘積，即3×2，再加上每個(gè)數(shù)字再減去1的乘積，即2×1，最后算一下，等于20。

妹子最后問： 你學(xué)會(huì)了嗎？

覺得有道理？趕緊點(diǎn)擊屏幕，領(lǐng)取學(xué)霸筆記！

你們學(xué)沒學(xué)會(huì)我不知道，反正我沒學(xué)會(huì)。當(dāng)然，這樣的學(xué)霸筆記，送給我我也不會(huì)領(lǐng)。
 

除了這個(gè)，網(wǎng)上還有不少網(wǎng)紅題目的標(biāo)數(shù)法解答。

比如這個(gè)用來數(shù)立方體個(gè)數(shù)的頭頂標(biāo)數(shù)法。

還有下面這個(gè)上過機(jī)構(gòu)的娃都會(huì)脫口而出的最短路徑標(biāo)數(shù)法。

我們就來看看這最后一道網(wǎng)紅題。

沒錯(cuò)，直接講標(biāo)數(shù)法滿足了許多家長、孩子和老師對(duì)于短平快的追求，但卻避開了兩個(gè)最根本的問題： 一是標(biāo)數(shù)法的原理到底是什么？二是標(biāo)數(shù)法適用的問題到底是什么？ 

如果數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只是單純?nèi)ビ涀「嗟募记尚苑椒?，那和多背幾首唐詩也沒有太大的差別。不少低年級(jí)的孩子通過強(qiáng)化記憶訓(xùn)練，確實(shí)會(huì)解許多高年級(jí)的小奧套路題，給大家造成了天才神童越來越多的假象，引來許多家長的艷羨。但在我看來，這并不值得大家崇拜甚至模仿。 恰恰是許多人忽略的 后面這 兩個(gè)根本問題 ，才 是 提 升認(rèn) 知層 級(jí)的關(guān)鍵 。等搞清楚孩子有沒有辨識(shí)和分析問題的能力，再投去羨慕的眼光也不遲。 

很多講解視頻中都說標(biāo)數(shù)法用于解決求最短路問題。我估計(jì)95%以上的老師都沒有正兒八經(jīng)地思考過標(biāo)數(shù)法真正適用的問題類型。顯然，最短路徑的說法是不全面的。比如下面的問題：

圖中，求從甲到乙的所有不同路徑條數(shù)。

這個(gè)問題可以用標(biāo)數(shù)法，但好像求的并不是最短路徑啊。

我給一些孩子做過下面這個(gè)題。

How many different ways are there to get from point A to point D, assuming no ege can be traced twice? (Note: there is no restriction on how many times a point can be passed through. )

假如任何一條邊都不能經(jīng)過兩次，那么從點(diǎn)A到點(diǎn)D有多少種不同的走法？(注：對(duì)一個(gè)點(diǎn)被經(jīng)過多少次不做限制。)

很多孩子碰到這個(gè)問題直接脫口而出用標(biāo)數(shù)法。但標(biāo)數(shù)法用在這里顯然有問題。能用標(biāo)數(shù)法解的問題，每個(gè)點(diǎn)只能經(jīng)過一次，但在這個(gè)問題里，點(diǎn)可以經(jīng)過多次。因此，標(biāo)數(shù)法不適用。

這個(gè)問題我們可以完全回到本原，利用圖形的對(duì)稱性枚舉求解。我們知道，最后從B到達(dá)D的路徑條數(shù)等于最后從C到達(dá)D的路徑條數(shù)，因此只要枚舉出經(jīng)過B到達(dá)D的路徑條數(shù)，最后乘以2即可。由于不限制所經(jīng)過點(diǎn)的次數(shù)，而是限制所有邊只能經(jīng)過一次，因此，為了方便列舉，我們可將邊標(biāo)上數(shù)字以示區(qū)別。

經(jīng)過B到達(dá)D的路徑分別有：

1-6

3-4-6

2-5-4-6

2-5-3-1-6

3-5-2-1-6

共有5條。

因此從A到D的邊不重的路徑有10條。

而如果問題變成：假如每個(gè)點(diǎn)都不能重復(fù)經(jīng)過，那么從點(diǎn)A到點(diǎn)D有多少種不同的走法？

這個(gè)問題是不是就能用標(biāo)數(shù)法呢？

很人多認(rèn)為既然問題中都說了點(diǎn)不能重復(fù)經(jīng)過，那肯定是可以用標(biāo)數(shù)法了。其實(shí)不然！ 標(biāo)數(shù)法背后的本質(zhì)是加法原理，標(biāo)數(shù)法的實(shí)質(zhì)是經(jīng)過加法原理逆向思考后的正向求解。

那問題是，該先標(biāo)E還是先標(biāo)B或C呢？

我們知道：

從A到B的路徑條數(shù)=從A直接到B的路徑條數(shù)+經(jīng)過E到B的路徑條數(shù)

從A到E的路徑條數(shù)=從A直接到E的路徑條數(shù)+從A經(jīng)過B到E的路徑條數(shù)+從A經(jīng)過C到E的路徑條數(shù)

這樣，就產(chǎn)生了一個(gè)問題，即從A到E的路徑條數(shù)依賴于從A到B的路徑條數(shù)，反過來，從A到B的路徑條數(shù)又依賴于從A到E的路徑條數(shù)。這就產(chǎn)生了先有雞還是先有蛋的問題。

為什么會(huì)有這個(gè)問題？這是因?yàn)檫@個(gè)問題中存在圈！

這就觸及了標(biāo)數(shù)法適用問題的最根本約束： 如果把圖中允許走的每條邊表示成有向的，那么標(biāo)數(shù)法適用的圖是有向無圈的。這樣，每個(gè)點(diǎn)的前驅(qū)才是確定的，且不會(huì)產(chǎn)生循環(huán)。

顯然，這個(gè)問題存在圈，所以不能用標(biāo)數(shù)法。

具體到這個(gè)問題，我們?nèi)匀豢梢岳脠D形的對(duì)稱性，枚舉出經(jīng)過B到達(dá)D的路徑數(shù)：

A-B-D

A-E-B-D

A-C-E-B-D

所以，整個(gè)問題的路徑條數(shù)為3×2=6條。

有了上面的基礎(chǔ)，不妨來嘗試一下這個(gè)挑戰(zhàn)吧：

（1）假如每個(gè)點(diǎn)都不能重復(fù)經(jīng)過，那么從點(diǎn)A到點(diǎn)D有多少種不同的走法？

（2）假如任何一條邊都不能經(jīng)過兩次，那么從點(diǎn)A到點(diǎn)D有多少種不同的走法？(注：對(duì)一個(gè)點(diǎn)被經(jīng)過多少次不做限制。)

作者簡介：昍爸，中科院計(jì)算機(jī)博士，曾獲初中和高中全國數(shù)學(xué)奧林匹克聯(lián)賽一等獎(jiǎng)，江蘇賽區(qū)第一名，高考數(shù)學(xué)滿分。現(xiàn)為大學(xué)計(jì)算機(jī)專業(yè)教授，平時(shí)注重提升孩子的數(shù)學(xué)和計(jì)算思維，開設(shè)有公眾號(hào)xuanbamath。