親子學(xué)奧數(shù)—幾何發(fā)展史3

自得其樂(lè)的魚(yú)

2013

2011

2019-12-26 11:15 原創(chuàng) · 圖片5

?昨天我們對(duì)歐幾里得的《幾何原本》作了詳細(xì)的了解，并知道歐氏幾何在2000多年的漫長(zhǎng)歲月中，影響了人們的生活。

但如果我們一直停留在僅學(xué)習(xí)已有知識(shí)的認(rèn)知層面，那么很多人類(lèi)的進(jìn)步可能都無(wú)法產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展，都是由無(wú)數(shù)的質(zhì)疑、追問(wèn)和探尋推動(dòng)的。對(duì)歐氏幾何基礎(chǔ)的第五公設(shè)，人們傾注了大量的心血去嘗試證實(shí)（證明是對(duì)的）或者證偽（證明是錯(cuò)的），并由此引發(fā)了人類(lèi)從歐氏空間到黎曼空間的認(rèn)知變革，推動(dòng)了我們更好的認(rèn)識(shí)整個(gè)宇宙。

歐氏幾何的第五公設(shè)

讓我們先來(lái)回顧一下歐氏幾何里的第五公設(shè)

：一條直線與另兩條直線相交，如果同一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角，那么兩條直線，如果無(wú)限延伸，就會(huì)相交。

圖片來(lái)源《這才是好讀的數(shù)學(xué)史》 P218

這個(gè)假設(shè)說(shuō)明這樣的一對(duì)線不是平行線。在《幾何原本》中，歐幾里得大量用它建立了平行線、平行四邊形和正方形的基本性質(zhì)，因此這條公設(shè)也被稱(chēng)為平行線公設(shè)

?；诘谖骞O(shè)實(shí)質(zhì)上也是構(gòu)建了一個(gè)歐氏空間，可以理解為類(lèi)似正方體形狀的一種空間，在這個(gè)空間中存在真正的直線、平面和平行。由于第五公設(shè)并不像其他4條公設(shè)那么簡(jiǎn)單明了，人們認(rèn)為這是歐氏幾何的瑕疵，曾被法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾戲稱(chēng)為“幾何學(xué)的家丑”。為了掩飾這一家丑，不斷有數(shù)學(xué)家對(duì)其進(jìn)行改造，希望將他改造的更易理解和接受，其中沿用至今的就是普萊費(fèi)爾公理：過(guò)已知直線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線平行。

非歐幾何

非歐幾何的誕生，正是源于對(duì)這一家丑的研究。有趣的是，三位數(shù)學(xué)家在相互毫不知情的情況下，用類(lèi)似的方法分別創(chuàng)建了非歐幾何，他們分別是德國(guó)的高斯、匈牙利的J.鮑耶和俄國(guó)的羅巴切夫斯基。這三位數(shù)學(xué)家都從普萊費(fèi)爾公理出發(fā)，判定過(guò)已知直線外一點(diǎn)能作多于一條直線平行于已知直線。他們的判定都需要先對(duì)空間進(jìn)行改造，不能還在我們熟悉的這個(gè)四平八穩(wěn)的空間中開(kāi)展證明。例如下圖中橢圓，你一定不能把它僅僅看做我們生活空間中的一個(gè)平面的橢圓，而要將其看做一個(gè)獨(dú)立的橢圓形無(wú)限大的空間，這就是一個(gè)羅巴切夫斯基空間的圖例。在這個(gè)空間中，數(shù)學(xué)家證明了APC與BPD都平行于AB，從而在這個(gè)空間里推翻了歐幾里得幾何。

圖片來(lái)源：《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》 P230

這里的確有些繞腦，沒(méi)有關(guān)系，畢竟我們不是為了真的投入到非歐幾何的研究中，你只需要知道，當(dāng)我們能夠轉(zhuǎn)換視角時(shí)，有那么一種空間（也許真的存在，也許只在我們腦海中），在其中歐氏幾何不再是真理一般的存在。

黎曼幾何

類(lèi)似于人們最初認(rèn)為地球是平的，后來(lái)才認(rèn)識(shí)到地球是圓的。對(duì)于空間的認(rèn)知也要放在不同的角度來(lái)看。當(dāng)我們只觀察身邊的局部世界時(shí)，世界在我們眼中是屬于歐氏空間的，海面那么平，地平線那么直。

但當(dāng)我們假設(shè)自己站在月球回望地球，世界在我們眼中就是一個(gè)球體，原本在局部世界中平行的兩條線，最終都會(huì)在球體的兩端相交，在球體的表面，也沒(méi)有任何真正的平面和直線可言，也就是說(shuō)歐氏空間不復(fù)存在。再來(lái)看一個(gè)有趣的反例：麥比烏斯帶

圖片來(lái)源：《數(shù)學(xué)的故事》P181 海南出版社

它是一個(gè)奇特的拓?fù)淇臻g，它只有一個(gè)面。如果將兩個(gè)麥比烏斯帶連接起來(lái)，會(huì)組成一個(gè)克萊因瓶。它只有一個(gè)面，沒(méi)有邊界。

圖片來(lái)源：《數(shù)學(xué)的故事》P187 海南出版社

那么有沒(méi)有統(tǒng)一的密碼來(lái)解釋宇宙中的所有空間？黎曼幾何應(yīng)運(yùn)而生。

黎曼將n維空間稱(chēng)為一個(gè)“流形”。流形中的一個(gè)點(diǎn)用n元數(shù)組來(lái)表示。類(lèi)似歐幾里得構(gòu)建理論體系的方式。在流形中，黎曼定義了距離、長(zhǎng)度、交角等概念。

最美妙之處在于，他還建立了流形曲率的概念，完美統(tǒng)一了歐幾里得空間和非歐幾何空間，即：當(dāng)曲率為0時(shí)，黎曼空間即為歐幾里得空間。當(dāng)曲率為負(fù)數(shù)時(shí)，黎曼空間即為羅巴切夫斯基幾何空間。當(dāng)曲率為正數(shù)時(shí)，就是黎曼空間。黎曼這一理論的建立，可以說(shuō)顛覆了人們之前對(duì)于空間的認(rèn)知，為后來(lái)相對(duì)論的提出提供了重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)之美

到這里，我們用了3天的時(shí)間，簡(jiǎn)單回顧了幾何發(fā)展史，現(xiàn)在你是否和我一樣感受到了數(shù)學(xué)之美：

從繁雜的自然中，抽象出統(tǒng)一的概念。從隱藏自然的經(jīng)驗(yàn)中，挖掘出宇宙密碼一樣的理論。由一個(gè)大膽的假設(shè)開(kāi)始，提出一個(gè)理論，或證實(shí)或證偽，再繼續(xù)去求真求證求實(shí)。通過(guò)一代代數(shù)學(xué)家不斷的追問(wèn)和探索，我們仿佛在玩著宇宙解碼游戲，一點(diǎn)點(diǎn)去揭開(kāi)宇宙留給我們的線索，不斷建立美妙的公式和理論，去描述我們身處其中的美妙空間。這便是為什么我要在講奧數(shù)的開(kāi)篇先來(lái)介紹相關(guān)的歷史，我希望你們不是在學(xué)奧數(shù)題，而是在通過(guò)奧數(shù)學(xué)習(xí)接受數(shù)學(xué)思想的熏陶，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，感受數(shù)學(xué)之美。

這世界上并不需要多一位解奧數(shù)題的高手，但非常需要多一位渴望探求未知的探索者。這才應(yīng)該是我們學(xué)習(xí)奧數(shù)的初衷。

最后的最后，為了不把你搞暈，請(qǐng)你暫時(shí)忘記非歐空間和黎曼空間，因?yàn)橹行W(xué)的數(shù)學(xué)還是基于歐氏空間展開(kāi)的，這里只是希望你能對(duì)空間的非唯一性有個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。

如果你是一位建筑工人、測(cè)量師或木匠，那么歐幾里得幾何學(xué)是目前為止最簡(jiǎn)單的使用方法；如果你是一個(gè)研究遙遠(yuǎn)星系或理論物理學(xué)的天文學(xué)家，你需要考慮空間的曲率，所以需要一個(gè)不同的幾何學(xué)。幾何是工作人員選擇的工具，而不是工作現(xiàn)場(chǎng)的固定特征。