2010
《小學(xué)奧數(shù)入門講義》231120
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需要先學(xué)習(xí)完小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，推薦浙教版教材，個人感覺比江蘇的更簡單易懂，能有加州數(shù)學(xué)就更好了，更加的簡單全面易懂，可惜需要會英文。
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我在輔導(dǎo)娃奧數(shù)的時候做了一些題目，對解題思路進(jìn)行了總結(jié)歸納，提出了自己的一些方法原則，希望可以幫助大家提高解題效果，提高思考效率，最好是簡單到大家都能看懂，希望能夠?qū)ζ渌⒆訉W(xué)習(xí)奧數(shù)提供一些幫助。
三大基本原則，1統(tǒng)一（統(tǒng)一單位，形式，位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)化，把某些看做一個整體，轉(zhuǎn)化題目）2分類（區(qū)分題目類型，區(qū)分不同元素，分組，分解某些元素，分解題目）3畫圖（直觀可視，容易理解，表示邏輯和推理過程，提示解題思路，分析題目）
數(shù)學(xué)一定要學(xué)會自己思考，能夠舉一反三（學(xué)加法，教的是1+1，出題可以千變?nèi)f化，要懂原理，才能以不變應(yīng)萬變），能夠看出題目中老師給的線索（有些題目出題老師都特地設(shè)有牌子在那舉著“注意腳下”，娃還往坑里跳），看出題目不同的變形（甚至在做完題以后，可以假設(shè)自己是老師，看看可以改變哪些條件，出成新的題目，“溫故而知新，可以為師矣”），要有數(shù)學(xué)的意識（1和99可以配對，4×25=100，做題的時候要一眼看出，這些都要慢慢培養(yǎng)），關(guān)鍵是思考（要問自己為什么，自己能夠說出為什么才算是真正懂了），從做題中找到樂趣（有的題全班就你一個會做的時候，難題大家都來找你的時候，這個講義就算有意義有價值了）。
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（大神出場）
奧數(shù)有很多書，我個人比較喜歡《高思導(dǎo)引》，題目比較全，難度有分級，后面的解答很詳細(xì)，解題過程可能沒多少，但是把解題思路講清楚可以理解就要花很多功夫了。最主要的，3456四本《高思導(dǎo)引》，網(wǎng)上買才花了40塊，性價比實(shí)在太高了，40塊錢學(xué)小學(xué)奧數(shù)太便宜了。我的講解，也側(cè)重在分析題目，和講解思路，只是在解題的過程中，提供一個引導(dǎo)，希望每一個學(xué)完這個講義的孩子，可以找到數(shù)學(xué)的樂趣，可以輕輕松松的做出奧數(shù)題，知道數(shù)學(xué)其實(shí)很簡單，培養(yǎng)出自己的自信，成為同學(xué)眼中的天才，甚至在其它學(xué)科的學(xué)習(xí)中，也能利用到這三個原則，提高自己的學(xué)習(xí)效率?！陡咚紝?dǎo)引》的缺點(diǎn)是，題太多了，每個都搞定要花無數(shù)的時間，有些題完全沒有做的必要（因?yàn)檫@輩子都不會碰到第二個），特別是有些45星的題特別難懂（以后列個方程就能解決，現(xiàn)在偏要畫3個圖拐5個彎搞半天），所以我只選擇簡單的題講思路方法，我們就小學(xué)奧數(shù)入個門，又不是考IMO，而且，數(shù)學(xué)刷題效果太差（學(xué)的是加法，而不是刷1+1，1+2，1+3…）。
奧數(shù)例題全部來自《高思導(dǎo)引》，想用最簡單的方式，用最少的題，講一下奧數(shù)，說明一下這3個原則在解題過程中的應(yīng)用，每一講都挑簡單經(jīng)典的題講解一下思路，盡可能的多畫圖，方便小孩理解，因?yàn)橹饕侵v解3原則的應(yīng)用，很多題的解題思路與課后答案不同，要學(xué)會自己思考，要多了解一些解題思路，數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化，這3個原則也只是工具，真正會自己分析解題了，才是真正學(xué)會了（不是師傅給你買套工具就能出師的），由于某些幾何之類的題沒本事畫圖，我就只大概講思路，需要看書上原題。
P6（三年級）第1題（3★）四則運(yùn)算
計(jì)算下面4個算式
1+2+1
1+2+3+2+1
1+2+3+4+3+2+1
1+2+3+4+5+4+3+2+1
觀察這個4個算式的結(jié)果，并找出規(guī)律，再用這個規(guī)律求下面算式的結(jié)果
1+2+3+4+5+…+19+20+19+…+4+3+2+1
4個算式的結(jié)果是4=2*2，9=3*3，16=4*4，25=5*5，如下圖，應(yīng)該很容易看出來。
那么（1+2+3+4+5+…+19+20+19+…+4+3+2+1）+20=？
1+2+3+4+5+…+19+20=？（最基本的等差數(shù)列求和）
很多數(shù)學(xué)題是要尋找規(guī)律的，而不是直接去計(jì)算，畫圖對找規(guī)律的幫助非常大，特別對于孩子一時不好理解的題目，一定要畫出圖來幫助理解。
P6（三年級）第2題（3★）四則運(yùn)算
計(jì)算：364-（476-187）+213-（324-236）-150
A B C C B A AABBCC分別是可以統(tǒng)一的一類
=364-476+187+213-324+236-150（去括號，所有元素統(tǒng)一到同一基準(zhǔn)水平上）
=（364+236）-（476+324）+（187+213）-150（配對，把相關(guān)元素分類后統(tǒng)一成整體）
當(dāng)給的信息不好處理的時候，基本原則就是統(tǒng)一到同一標(biāo)準(zhǔn)下，看看有沒有什么規(guī)律特點(diǎn)，很顯然，統(tǒng)一后，發(fā)現(xiàn)出題老師給的數(shù)據(jù)都是可以配對湊整的。
不同長度的鉛筆怎么比較長短？最簡單就是都放在桌上底部齊平，看到數(shù)字（數(shù)學(xué)題）第一步也是想辦法給它統(tǒng)一到同一標(biāo)準(zhǔn)下。
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P11（三年級）第13題（3★）應(yīng)用題
3只猴子3天吃了3個桃子，按照這樣的速度，6只猴子6天吃了幾只桃子？9只猴子要吃9個桃子，需要幾天？
3猴3天吃3桃→3猴1天吃1桃→1猴1天吃1/3桃（分解到最小單位，單位化，這條以后會經(jīng)常用到）→1猴6天吃2（6*1/3）桃→6猴6天吃12（6*2）桃
3猴3天吃3桃→3猴6天吃6（2（天數(shù)的2倍）*3）桃→6猴6天吃12（2（猴子數(shù)的2倍）*6）桃
第一天 第二天 第三天
第一只猴子 （ █ █ █ ） 三份為一個桃子（每個█為1/3片的桃子）
第二只猴子 █ █ █ 自己畫圖的時候畫成120度的扇形更好理解
第三只猴子 █ █ █
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天
第一只猴子 （ █ █ █ ） （ █ █ █）
第二只猴子 （ █ █ █ ） （ █ █ █）
第三只猴子 （ █ █ █ ） （ █ █ █）
第四只猴子 （ █ █ █ ） （ █ █ █）
第五只猴子 （ █ █ █ ） （ █ █ █）
第六只猴子 （ █ █ █ ） （ █ █ █）
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孩子小的時候，對于很多奧數(shù)題是比較難以理解的，畫圖可以方便理解，圖上可以一眼就看出來答案，很多題，如果可以畫出圖來，實(shí)際上題目就已經(jīng)解決了一半。
9只猴子吃9個桃子，可不可以分解成，第一組3只猴子吃3個桃子，第二組3只猴子吃3個桃子，第三組3只猴子吃3個桃子，需要吃幾天？
P13（三年級）第7題（4★）應(yīng)用題
已知3名模范職工和6名普通職工8小時可以生產(chǎn)零件420個，現(xiàn)在有一批生產(chǎn)任務(wù)，需要6名模范職工和12名普通職工生產(chǎn)14小時才能完成，如果工作了4小時后，又來了4名模范職工和8名普通職工，可以提前幾小時完成任務(wù)？
首先不管模范職工和普通職工的工作效率差別，可以把1名模范職工和2名普通職工做為1組人（一個統(tǒng)一的最小單元），6名模范職工和12名普通職工生產(chǎn)4小時后還需要10小時才能完成剩余工作（6組人工作10小時工作量為60份），增加工人后為10名模范職工和20名普通職工，也就是10組人，需要工作60/10=6小時，所以提前了4小時。如果增加工人為6名模范職工和12名普通職工，原工作還需要工作多少時間？
6名模范職工和12名普通職工（先分解）→6名模范職工和6*2名普通職工
1名模范職工和2名普通職工做為1組人（再統(tǒng)一）→▌+2個▎=█
6名模范職工和12名普通職工生產(chǎn)14小時才能完成→先生產(chǎn)4小時后還需要原工作人員再工作10小時才能完成剩余工作（分解）
剩余工作量為60份不變，要么6組人完成，要么10組人完成
剩余工作量為60份不變，要么6組人完成，要么10組人完成
6組人工作10小時工作量為60份 10組人工作6小時工作量也為60份
畫的表格不太好，但是基本還是可以幫助理解分析題目的。
P15（三年級）第7題（2★）枚舉法
在一次知識搶答比賽中，小高和墨莫兩個人一共答對了10道題，并且每個人都有答對的題目，如果每道題答對得1分，那么小高和墨莫分別可能得多少分？
原題有表格，填一下就行，在我看來畫出這個表格（畫圖）才是問題的所在，對枚舉法（分類）來說，分類的完整全面非常重要（按照一定的規(guī)律就不容易遺漏，比如上表中小高的總分按12345689的順序排列），后期初高中時，區(qū)間的開閉，直線與圖形的交點(diǎn)，分類一個都不能少，現(xiàn)在就要多加練習(xí)。
P17（三年級）第4題（2★）枚舉法
小高萱萱卡利亞三個人去看電影，他們買了三張座位相鄰的票，他們?nèi)说淖豁樞蛞还灿卸嗌俜N不同的安排方法？
這種是排列組合題，但是在教娃的時候，還是乖乖的按照枚舉的方法來講，你說3年紀(jì)的娃哪里聽得懂排列組合，不就是按部就班畫個表的事情。
P25（三年級）第13題（3★）找規(guī)律
有一列數(shù)組，每組由3個數(shù)組成，它們依次是（1,3,6），（2,6,12），（3,9,18），…請問：第20個數(shù)組內(nèi)3個數(shù)的和是多少？
（1 ,3,6） → 粗一看沒什么規(guī)律，就區(qū)別分類，只看第一個數(shù)，1→2→3→4這個規(guī)律
（2 ,6,12） 總看的出來，然后再看其它的，1→3→6，按照步驟一步一步來
（3 ,9,18）
（4 ,12,24）
（a ,3a,6a） 這個應(yīng)該能看出來，而且和是10a
（20 ,60,120） 第20個自然就是這樣的，和是10×20
數(shù)學(xué)的意識需要平時不斷的培養(yǎng)，4，6的和知道是10，1，3，6的和也是10。
當(dāng)找規(guī)律起先看不出什么規(guī)律的時候，可以試著多寫幾個，再看看有沒有什么規(guī)律。
P31（三年級）第13題（3★）和差倍
甲，乙，丙三個糧倉一共存有109噸糧食，其中甲糧倉的糧食總量比乙糧倉的3倍多1噸，而乙糧倉的糧食總量則是丙糧倉的2倍，問：甲糧倉比丙糧倉多存量多少噸？
甲 甲 甲▲（▲▲▲▲▲+1）
乙 →乙▲▲→ 乙▲▲ 109→9個▲=108→1個▲是12（噸）→
丙▲ 丙▲ 丙▲ →甲比丙多（5個▲+1）=5*12+1=61（噸）
很明顯，丙是最小單位，以它為基準(zhǔn)，把甲乙都統(tǒng)一成丙的情況，然后再進(jìn)行計(jì)算。
和差倍類型的題，畫線段比例圖是最好的方法，圖能畫出來，題就肯定能解決。特別是娃在沒有能力列方程解應(yīng)用題的時候，詳細(xì)又明了的圖，是解題最好的辦法。講了半天不懂的，圖上很明顯就能看出來。我沒本事畫線段比例圖，都是用符號或者表格來代替，家長在輔導(dǎo)的時候，一定要耐心和娃一起畫線段比例圖，對于和差倍問題刷題沒有意義，一道題好好的分析仔細(xì)的講解搞懂了才有意義。
P35（三年級）第9題（2★）加減豎式
在圖示的豎式里，四張小紙片各蓋住了一個數(shù)字，被蓋住的4個數(shù)字的總和是多少？
□A □C 計(jì)算豎式的時候要當(dāng)心進(jìn)位，先看個位（分類討論），9+9都只有18沒有19，
+ □B □D 所以這個9肯定沒有進(jìn)位，C+D=9,很顯然A+B=14
=1 4 9
P45（三年級）第7題（3★）周期
一只蝸牛從深30米的井底向上爬，第一天向上爬了6米，第二天休息，于是向下滑了4米，第三天再向上爬6米，第四天又向下滑4米…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，蝸牛第幾天才能爬到井口？
首先由圖可知，兩天作為一個統(tǒng)一的最小周期，兩天向上爬2米，但是最后一天是爬6米，到了井口就不會再向下滑了 ，AAAAAA（統(tǒng)一）…+B（分類），2+2+2…+6=30，24+6=30，12*2+6=30
12個2米 +1個6米 =30米（單位是米）
12*2（每個2米要2天）+1（最后一個6米要1天）=25天（單位是天，對應(yīng)上面花的時間）
P49（三年級）第1題（1★）雞兔同籠（為方便畫圖，題目改簡單了）
1只雞有1個頭2條腿，1只兔子有1個頭4條腿，如果總共有3個頭，8條腿，有幾只雞幾只兔？
兔子 雞 3只雞 2只雞 1只兔子 ¨：2條腿
¨ （¨） ○：1個頭
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
畫圖，假設(shè)全部是雞，很明顯，只有6條腿，還需要再添上2條腿，1只兔子比1只雞多2條腿。
假設(shè)計(jì)算，8-3*2（假設(shè)全部是雞，統(tǒng)一成同一種）=2,4-2=2（1只兔子比1只雞多2條腿，區(qū)分差別），2/2=1（多出來的2條腿來自1只兔子）。
列方程，A+B=3,2A+4B=8。
這個題中，畫圖，假設(shè)，列方程三種方法，畫圖最簡單最直觀，但是極限很明顯，100只雞怎么畫圖？還是需要理解后面兩種解題方法，但是剛開始講雞兔同籠的題一定要畫圖來幫助孩子理解。
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P57（三年級）第9題第2小題（2★）等差數(shù)列
21+19+17+…+3+1 （等差數(shù)列，可用公式計(jì)算，但是很明顯的也可利用統(tǒng)一分類的原則）
=21+（19+17+15+…+5 +3 +1） 分類
=21+（19+1）+（17+3）+（15+5）+（13+7）+（11+9） 統(tǒng)一
P63（三年級）第5題（1★）幾何圖形
如圖，將一個邊長為4厘米的正方形對折，再沿虛線剪開，得到兩個長方形，請問：這兩個長方形的周長之和比原來正方形的周長多幾厘米？
原題的圖很好，只要再畫一下分解成兩個長方形的示意圖，對比一下差別，多出來的邊就是增加的長度，就很容易看出來。
P66（三年級）第10題（3★）幾何圖形
如圖中的四個正方體標(biāo)字母的方式是完全相同的，請你利用圖中已知的信息，判斷ABC的對面分別標(biāo)的是哪個字母?
首先，可以看出來ABC和DEF分別是同一個角的三面，我來分解成這樣的圖形
那么就只有這樣兩種拼接方式，看一下哪個方式還是CD相連。本來草稿紙上畫的很明顯，自己不太會畫，畫的表格都對不齊，大家還是在草稿紙上，多和孩子畫畫立體展開成平面的示意圖，多畫幾次也就有感覺了。
P66（三年級）第11題（3★）幾何圖形
立體幾何（色子）問題，孩子比較難理解，但是可以分解后分類討論。
向左右滾動 （前后兩個面不考慮） 向前后滾動（左右兩個面不考慮）
□□□□→左上右下編號1234 □□□□→前上后下編號1234
→□1□2□3□4→向左滾朝下的數(shù)字 →□1□2□3□4→向前滾朝下的數(shù)字
4123.4123… 4123.4123…
向左滾5格，假設(shè)面上有油漆，紙上印上的數(shù)字就是4123.4，向右滾11格，紙上印上的數(shù)字就是4321.4321.432。變成了簡單的周期問題。拿個橡皮給孩子演示一下，會更容易講解。
P69（三年級）第7題（5★）幾何圖形
將一個正方體紙盒的棱剪開后，可以將其平鋪成一個平面展開圖，也就是由6個正方形連接起來的一整張紙片，一共有多少種？
后面答案有圖，一定要和孩子一起畫一下，對以后解立方體的題很有幫助。
做題千遍，不如畫圖一遍。真正摸過色子而不是靠憑空想象，更容易知道123456是如何排列。
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P75（三年級）第2題（3★）盈虧問題
小明計(jì)劃在若干天內(nèi)完成一本習(xí)題集，如果他每天做5道題，那么最后兩天每天要做10道題才能完成，如果他每天做6道題，恰好可以提前一天完成，請問：這本習(xí)題集共有多少題？
5+5+5+… +10+10 統(tǒng)一，不算最后兩天，前面做題數(shù)量每天一樣
6+6+6+… +6 +0 分類，很明顯，最后兩天是特殊情況，區(qū)別對待
5n+10+10=6n+6（統(tǒng)一，總做的題數(shù)相等，假設(shè)的前面做的天數(shù)n相等）
5+5+5+… +5+ 5+ 5+5 統(tǒng)一，把后兩天每天10題統(tǒng)一成原始工作效率，需要4天完成
6+6+6+… +6+ 0+ 0+0 分類，差值來自于哪里？每天多做1題，少做3天
最后三天（不同的地方）做了15題，如果每天多做1題，很顯然需要15天，那么提前1天完成需要15天，原計(jì)劃就是16天。
P81（三年級）第6題（3★）智巧趣題
如圖，現(xiàn)在有7個滿杯的果汁，7個半杯的果汁和7個空杯，要想把它們平分給三個人，使每個人都分到同樣多的果汁和杯子，應(yīng)該怎么分？
有果汁和杯子兩種元素，首先，杯子肯定是每人7個。
■■■■■■■ →■ 先把原題的圖換一下位置，很明顯一滿一空等于兩個半杯，也就是
□□□□□□□ □ 說一滿一空（■□）為一個統(tǒng)一的整體，必須成對出現(xiàn)
▄▄▄▄▄▄▄ ▄
然后分類討論，如果某人拿了一滿一空（■□），由于杯子數(shù)是7，那么只能再拿5個半杯。
如果某人拿了兩滿兩空（■□■□），由于杯子數(shù)是7，那么只能再拿3個半杯。
如果某人拿了三滿三空（■□■□■□），由于杯子數(shù)是7，那么只能再拿1個半杯。
如果某人拿了四滿四空（8杯，不合題意），排除。
能比較的平分的一定是統(tǒng)一的個體，那么一滿一空（■□）必須作為一個統(tǒng)一的整體成對出現(xiàn)（統(tǒng)一），然后分類討論（分類）。
P89（三年級）第1題第1小題（3★）四則運(yùn)算
5÷（7÷11）÷（11÷15）÷（15÷21）
7 11 15 11 15 21
=5÷ —÷— ÷— =5×—×— ×— 除法最方便的是可以約，所以統(tǒng)一成上下形式
11 15 21 7 11 15
P93（三年級）第1題（1★）枚舉法
小高，墨莫，卡利亞三個人去游樂園玩，三人在藏寶屋中一共發(fā)現(xiàn)了5件寶物，這三個人找到的寶物數(shù)量可能有多少種情況？
畫圖，表格畫出來就做出來了一半，然后分類討論，分類討論一定要按照一定的規(guī)律順序，這樣才不容易漏。
P94（三年級）第7題（3★）枚舉法
常昊與古力兩人進(jìn)行圍棋賽，誰先勝三局就會取得比賽的勝利，如果最后常昊獲勝了，那么比賽的進(jìn)程有多少種可能？
如果第一場是常勝了，那么發(fā)展的可能與軌跡是這樣的圖，如果第一場是古勝了，再畫出圖來，總共有多少種可以，圖上都顯示了出來。
分類討論（分類），樹形圖（畫圖）。
《高思導(dǎo)引》我最滿意的地方就是它的圖，簡單又詳細(xì)，很多題一看圖思路就出來了，我畫的圖遠(yuǎn)不如書中原圖好。
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P102（三年級）第1題（3★）和差倍
公園里柳樹和楊樹共43棵，松樹和柏樹共42棵，并且楊樹比松樹多2棵，比柳樹少7棵，那么公園里有多少棵柏樹？
畫圖，找共同點(diǎn)不同點(diǎn)，找到可以聯(lián)系的橋梁（最小單位）。
P106（三年級）第1題（1★）乘除豎式
突破口是最后的7，只有3×7=21，個位有1，然后依次類推。
P111（三年級）第9題（2★）雞兔同籠
癩蛤蟆和天鵝一塊玩游戲，天鵝比癩蛤蟆多15只，癩蛤蟆的總腿數(shù)比天鵝的總腿數(shù)多36條，那么癩蛤蟆和天鵝各有多少只？
癩蛤蟆 4+4+4+4+…
天鵝 2+2+2+2+… +2+2+…+2（15只）
癩蛤蟆的腿數(shù)-天鵝的腿數(shù)=癩蛤蟆的只數(shù)n*4-天鵝的只數(shù)*2=癩蛤蟆的只數(shù)n*4-（癩蛤蟆的只數(shù)*2+15*2）=36 （把天鵝的只數(shù)，統(tǒng)一成癩蛤蟆的只數(shù)與差值）
癩蛤蟆 4+4+4+4+… +4+4+…+4（15只）
天鵝 2+2+2+2+… +2+2+…+2（15只）
如果再來15只癩蛤蟆，那么講1只癩蛤蟆與1只天鵝分成1組，恰好分完，此時，癩蛤蟆的總腿數(shù)比天鵝的總腿數(shù)多36+15×4=96，每組中1只癩蛤蟆比1只天鵝多2條腿，那么就是96÷2=48，那么天鵝就是有48只。
P115（三年級）第6題（5★）雞兔同籠
有蜘蛛蜻蜓和蟬三種動物若干，蜘蛛有8條腿但沒有翅膀，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，蜘蛛比蜻蜓多5只，三種動物一共有182條腿22對翅膀，請問三種動物各有多少只？
都三種動物了，雖然是很簡單的三元一次方程，但是三年級的孩子哪里懂，那就想辦法統(tǒng)一成雞兔兩種的情況，蜘蛛比蜻蜓多5只，那就把這個5只去掉，那就變成蜘蛛和蜻蜓一樣多，三種動物一共有142（182-5*8）條腿22對翅膀，再把蜘蛛和蜻蜓看作一個整體（蜘蜓，有7條腿1對翅膀（為什么不變成14條腿2對翅膀？），轉(zhuǎn)變的過程中，本身題目沒有變，仍然是和原來一樣的，但是題目變得更容易理解和解答了，要素變少了），這樣題就轉(zhuǎn)變成，蜘蜓有7條腿1對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，兩種種動物一共有142條腿22對翅膀，請問兩種動物各有多少只？
如果這個22對翅膀全是蟬的，那么蟬有22只，有22*6=132條腿，差了10條腿，每把一只蟬換成一只蜘蜓多1條腿。
（這題，在我看來，沒有必要做，完全超出了三年級的難度，可以到四五年級再回過頭來教，選這個題的唯一原因，是這里用了轉(zhuǎn)化，把3個動物轉(zhuǎn)化成2個動物，這個方法需要會，以后會碰到很多難題，上來不是硬做，而是要想辦法轉(zhuǎn)化成已知的簡單的題型。）
雞兔同籠，基本上在我看來是小學(xué)低年級的奧數(shù)的第一個攔路虎了，第一，一定要從簡單開始，從1雞1兔來畫圖來理解，第二，轉(zhuǎn)化，難的復(fù)雜的題，一定要想辦法轉(zhuǎn)為簡單的題再去解答，第三，平常心。在我們大人看來超級簡單的方程，三年級的娃沒有學(xué)過這些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，怎么可能聽的懂，就如沒學(xué)過坐標(biāo)系，誰知道解析幾何是什么東西，數(shù)學(xué)是靠無數(shù)天才數(shù)學(xué)家不斷研究發(fā)展推進(jìn)的，某些定理原理是那些天才數(shù)學(xué)家研究多少年的成果，沒有人可以無師自通，沒有人。所以，也別指望沒學(xué)過代數(shù)的三年級的孩子會解方程。我們還是按照簡單的雞兔同籠問題的基本解答來講解。
P119（三年級）第4題（4★）四則運(yùn)算
計(jì)算：13×125 -25×27+75×21 +175×3
=13×25×5-25×27+25×3×21+25×7×3 （把相關(guān)的數(shù)字分解，統(tǒng)一成25的倍數(shù)）
P123（三年級）第10題（3★）間隔與整列
有100人站成一個實(shí)心方陣，那么這個方陣的最外層共有多少人？從外向里算起的第二層有多少人，從里向外算起的第三層有多少人？
后面解答里的圖，非常的直觀。首尾相連的間隔問題，一定要當(dāng)心重復(fù)計(jì)算多算了的部分。
路邊種樹問題就是這類的，一定要當(dāng)心頭尾有沒有重復(fù)計(jì)算。
拿個尺子出來，看一下，10厘米的尺子，有10個厘米，標(biāo)的刻度數(shù)字實(shí)際上是11個（012345678910）。下次碰到這樣的題，就拿出尺子來看一眼。
P123（三年級）第2題（2★）間隔與整列
小高和墨莫去王老師家玩，王老師住在15層，兩人同時從一樓往上走，速度都保持不變，當(dāng)小高走到第3層的時候，墨莫恰好走到了第5層，請問：當(dāng)墨莫走到王老師家的時候，小高走到了第幾層？
1 2 3 4 5 樓層數(shù)
小高 → → 2 需要走的樓梯個數(shù)
墨莫 → → → → 4
墨莫到王老師家要走15-1=14個樓梯，很明顯，墨莫的速度是小高的2倍，同一時間，小高只能走14/2=7個樓梯，爬到了8樓。當(dāng)小高爬到了7樓的時候，墨莫爬到幾樓？
P129（三年級）第10題（2★）算符與數(shù)字
有一類三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字之積是18，在所有這樣的三位數(shù)中，最大的數(shù)與最小的數(shù)的差是多少?
先分解18=1×2×3×3，有四個元素組成三個數(shù)，那么必然有一個數(shù)由兩個元素組成，可以是1,2,9或2,3,3或1,3，6，最大一定是3×3=9，最小是1,2在中間。
P135（三年級）第7題（1★）盈虧問題
老師準(zhǔn)備把一些蘋果分給幾名學(xué)生，如果每人分6個，還能剩下8個，如果每人分9個，最后會缺7個，一共有幾名學(xué)生？
6+6+6+6+… 6 +8 → 6+6+6+… 6 +7 +8
9+9+9+9+… 2（9-7） 9+9+9+… 2+7
蘋果的總數(shù)是相同的，差別在哪？由什么產(chǎn)生？
如果再加7個蘋果，那么每人分6個會多15個，每人分9個正好，那么15個的正好是在原來每人分6個后每人再多分3個用掉了，那么有多少個人？如果每個人分8個，會出現(xiàn)什么樣的情況（多幾個或者缺幾個）？
P139（三年級）第6題（4★）盈虧問題
張宇上午7點(diǎn)20分從家里出發(fā)到學(xué)校上課，如果每分鐘走50步，到達(dá)學(xué)校時離上課還有7分鐘，如果每分鐘走35步，就要遲到5分鐘，求學(xué)校上課的時間。
兩次走的距離是一樣的，第一次50*t，第二次35*（t+7+5）,每分鐘少了15步，需要第二次每分鐘35步多走12分鐘，35*12/15=28，第一次走了28分鐘。
畫出一個初中物理速度里面的那種陰影路程圖來，一眼就可以看懂，可惜畫畫水平太差，我就只會用表格代替。大家可以試試，方便理解和解題。
35是一樣的，灰色（15）部分的面積和藍(lán)色（35且7+5分鐘）的面積應(yīng)該是一樣的。
P143（三年級）第7題（3★）長度與角度
如圖，有一個八邊形，任意相鄰的兩條邊都互相垂直，已知其中3條邊的長度，這個八邊形的周長是多少？
由于畫畫的水平幾乎沒有，只能按照書中的圖大概解釋一下，上面三條相加等于下面一條（AH+GF+ED=BC，統(tǒng)一），中間的左邊移到最右邊(HK=ID,ID+DC=AB)，則構(gòu)成一個完整的長方形（統(tǒng)一），及多出兩條中間的右邊（分類）（GK=EF=4）。方法仍然是，相關(guān)的統(tǒng)一在一起，獨(dú)立的區(qū)別的另外算。
P144（三年級）第8題（3★）長度與角度
這個題，解答里面的圖非常經(jīng)典，平移（統(tǒng)一，一樣的東西才能平移，平移后往往又和別的構(gòu)成整體）的思路在解決幾何問題是經(jīng)常用到。在我看來，割補(bǔ)法，不就是先分解（分割）再統(tǒng)一（補(bǔ)充）成完整的圖形。
P149（三年級）第8題（3★）智巧趣題
小高買了64瓶汽水，如果4個空瓶可以換1瓶汽水，那么他最多能喝到多少瓶汽水？如果他開始買了67瓶汽水呢？
4瓶=1瓶水=1瓶+1水（分解） →3瓶=1水（統(tǒng)一）
□□□□=■=□+● □□□=●
這里用了等式的基本性質(zhì)，等式兩邊都減去了一個空瓶，但是這個結(jié)論本身是反常識的，你說，你拿3個空瓶怎么去換汽水，汽水不用瓶裝憑空給你嗎？但是做題的時候是這么推理的。
64瓶水=64水+64瓶=64水+63瓶+1瓶=64水+21水+1瓶
圖片來自網(wǎng)絡(luò)（可口可樂沒給贊助）
P4（四年級）第10題（3★）整數(shù)計(jì)算
計(jì)算：951×949-52×48
=（950+1）（950-1）-（50+2）（50-2） 以950和50為基準(zhǔn)進(jìn)行分解
=9502-12-（502-22） a2-b2的基本公式
=（950+50）（950-50）+3 平方不好算，950+50可以統(tǒng)一成1000
P5（四年級）第4題（3★）整數(shù)計(jì)算
已知平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），計(jì)算
1002+992-982-972+962+952-942-932…+42+32-22-12.
把式子分組成可以用平方差公式配對的形式
（1002-982）+（992-972）+（962-942）+（952-932）…+（42-22）+（32-12）.
=2（100+98）+2（99+97）+2（96+94）+2（95+93）…+2（4+2）+2（3+1）
=2（100+99+98+97+96+95+94+93…+4+3+2+1）
這個括號里的式子應(yīng)該知道怎么算，分類（分組）成可以用平方差公式的形式，后面再統(tǒng)一成2倍的特殊數(shù)列。
P9（四年級）第9題（2★）數(shù)陣圖
把1-6這6個數(shù)分別填入圖中的6個方格內(nèi)，使得橫行3個數(shù)之和與豎列4個數(shù)之和相等，這個和最大是多少？最小是多少？
橫行+豎列=所有數(shù)相加+交叉處的數(shù)A（橫行和豎列都有，等于加了兩次）（分類）
所有數(shù)相加等于固定值，那么橫行+豎列之和最大就變成交叉處的數(shù)A最大（統(tǒng)一）。
P12（四年級）第13（2★）數(shù)陣圖
解題思路值得一看。
P17（四年級）第1題（2★）豎式
如圖，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出它們使豎式成立的值。
語 四個“語”相加的個位是0，那么“語”只有0和5這兩種可能。
英 語 分類討論，當(dāng)“語”是0時，不進(jìn)位，三個“英” 相加個位不可能是0
學(xué) 英 語 當(dāng)“語”是5時…
+巧 學(xué) 英 語
2 0 0 0
豎式由于可能有進(jìn)位，優(yōu)先從低位開始算。乘法口訣要熟練，對于某數(shù)可能由哪些數(shù)相加或相乘得到，要能很快的想到，對于不可能的情況排除（3A一定是奇數(shù)，這里的個位不是0）。
P25（四年級）第4題（2★）幾何圖形拼剪
將圖示圖形分割成大小，形狀完全相同的4塊，請至少畫出4種不同的方法。
首先，原圖可以分解成一平放一豎放兩個相同的長方形，然后再把長方形一分為二就可以了。
答案中的后兩種方法，需要了解一下，不常規(guī)，不做要求，但是要能夠理解。
數(shù)學(xué)，解題的方法千變?nèi)f化，常規(guī)的方法要掌握，不常規(guī)的方法了解就行，不要在生僻單詞上浪費(fèi)時間，掌握常用詞匯就夠了，追求學(xué)習(xí)效率而不是面面俱到。
P28（四年級）第8題（5★）幾何圖形拼剪
請畫出一個三角形，并把它分成大小形狀完全相同的5個小三角形。如果要分為完全相同的13個小三角形，該如何畫？
完全相同的三角形，要想到相似三角形，后面解答里的圖就是典型的相似三角形。然后，相似三角形可以按照等分線分解成相同的4個，9個，25個。。。全等小三角形，5個那就是4+1,13個那就是4+9，可不可以繼續(xù)分解成9+16？
P29（四年級）第1題（1★）行程問題
強(qiáng)強(qiáng)跑100米用10秒，旗魚每小時游120千米，請問：誰的速度更快？
強(qiáng)強(qiáng)100/10（米/秒） 旗魚120/1（千米/小時） 單位必須統(tǒng)一才能進(jìn)行比較
在前期的數(shù)學(xué)里，數(shù)字只是數(shù)字，在生活中，物理化學(xué)里，數(shù)字不僅僅是光禿禿的數(shù)字，一定是帶有單位的，一個蘋果，一斤蘋果，一箱蘋果，是完全不一樣的，只有一樣的東西才能比較，所以一定要統(tǒng)一單位，同時記住，數(shù)字和單位一定是統(tǒng)一成一個整體一起出現(xiàn)的。
P33（四年級）第3題（3★）行程問題
小高平時每天上學(xué)都是先步行10分鐘后再跑步2分鐘，某天他步行6分鐘后就開始跑步，結(jié)果比平時早到了2分鐘，請問：小高跑步的速度是步行速度的幾倍？
平時 ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ●● →■■ ■■ ■■ （■■ ■■） ●●
某天 ■■ ■■ ■■ ●● ●● ■■ ■■ ■■ （●●） ●●
畫出示意圖（畫圖），找到相同點(diǎn)（統(tǒng)一）和不同點(diǎn)（分類），然后進(jìn)行比較。這個是典型的使用了3原則來解題的題。
P37（四年級）第5題（3★）抽屜原理
一個魚缸里有很多魚，共有5個品種，至少要撈出多少條魚，才能保證其中有5條相同品種的魚？
最不利，就是最倒霉的情況，還差1條才能滿足條件，那就是撈了5個品種的魚，但是都只撈了4條，再撈任意品種的1條就可以了，5×4+1。
P38（四年級）第12題（3★）抽屜原理
如果把40塊巧克力放入ABCD四個盒子里，A盒放的最多，放了13塊，且四個盒子里放的巧克力依次減少，那么：
1， D盒最少可以裝幾塊？
2， D盒最多可以裝幾塊？
要D盒最少，那么要BC最多，B最多是12，C最多是11，那么剩下的全給D，此時D最少。
要D盒最多，那么就是BC最少，最少B比C多1，C比D多1，那么就是BC總共比D多3，還剩40-13=27，27-3=24，24/3=8。
總數(shù)不變，不同分配的圖，以后會經(jīng)常碰到（比如平均數(shù)的題）。
P44（四年級）第8題（3★）直線型計(jì)算
很典型的幾何圖形題，沒本事畫圖，就提一下，把幾個小三角形統(tǒng)一成一個大的三角形。
三角形面積的公式是1/2的底乘以高，同底等高面積是一樣的，那么連續(xù)在一直線上的底又等高，也可以組合統(tǒng)一成一個大的三角形。
P45（四年級）第2題（3★）直線型計(jì)算
中小兩個正方形把大正方形分成了3個部分，外層環(huán)形部分的面積是168，中層環(huán)形部分的面積是96，如果3個正方形的邊長構(gòu)成等差數(shù)列，那么大正方形的面積是多少？
有時候拿到題，管他三七二十一，先畫圖分解就是了，再去找統(tǒng)一的共同點(diǎn)。
P47（四年級）第1題（2★）和差倍
有長短兩根竹竿，長竹竿的長度是短竹竿長度的3倍，將它們插入水塘中，插入水中的長度都是40厘米，而露出水面部分的總長為160厘米，請問：短竹竿露出的長度是多少？
長■■ ■■ ■■→ ■ / ■ ■■ ■■
短■■ ■ / ■
長是短的3倍 兩段40 水面 總長160
兩根竹竿總長是40×2+160=240，短是n，長是3n，總長就是4n，短240/4=60。
這個題畫線段圖的話，更加明顯，參考答案里的圖就很不錯。
P51（四年級）第4題（4★）和差倍
王老師買了一臺電視機(jī)，購買時可以按照以下兩種方式付款，第一個月付750，以后每月付150，或者前一半時間每月付300，后一半時間每月付100，如果兩種付款方式的付款總數(shù)和時間都相同，問這臺電視機(jī)多少錢？
前一半時間每月付300，后一半時間每月付100，可以統(tǒng)一成每個月付200。
然后第一個月多付了750-200=550，以后每個月少付200-150=50，付了11個月（550/50）。
圖一畫出來，就很容易理解，當(dāng)然因?yàn)樗接邢?，我都是畫表格的?strong>希望大家養(yǎng)成分析題目的時候，畫圖做輔助的習(xí)慣，特別是小孩子不能理解的時候，題看不懂，圖還看不懂嗎？
P53（四年級）第1題（1★）還原與年齡
某數(shù)加上6，再乘以6，再減去6，再除以6，其結(jié)果等于6，則這個數(shù)是多少？
﹝（某數(shù)+6）×6-6﹞÷6=6，寫出原式，再一步一步反推計(jì)算。
P55（四年級）第8題（3★）還原與年齡
12年前，父親的年齡是女兒年齡的11倍，今年，父親的年齡是女兒年齡的3倍，請問：多少年后，父親的年齡是女兒年齡的2倍？
12年前 父親 ■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ 差10■
女兒 ■
今年 父親（■+12）×3 →■ ■■ +36 → 差 2■ +24
女兒■+12 ■ +12
父女同時長大，年齡差不變（統(tǒng)一）。
畫的這個表格的比例不太對，大概還是可以看出來關(guān)系的，這類題型，先是畫圖，標(biāo)上已知條件，然后尋找等量關(guān)系（統(tǒng)一），找到突破口（差值）。
P61（四年級）第7題（2★）數(shù)列
如圖所示，將自然數(shù)有規(guī)律的填入方格表中，請問：1，500在第幾行第幾列？2，第100行第2列是多少？
首先，把兩行作為一個整體（統(tǒng)一），那么就是9個數(shù)一個周期，500÷9=55……5（分類，統(tǒng)一的算周期，獨(dú)立的獨(dú)立算），那么就是前面有2×55=110行，在111行第5列，如果是502呢？500÷9=55……7=6+1，那么就是在第112行第2列。
P67（四年級）第9題（2★）加法乘法原理
如圖，甲乙兩地之間有4條路，乙丙兩地之間有2條路，甲丙兩地之間有3條路，那么從甲地去丙地一共有多少種不同的路線？
分類，甲→乙→丙和甲→丙，哪些用加法原理（統(tǒng)一的，相同的），哪些用乘法原理（分部的，前后的）。
P75（四年級）第1題（2★）統(tǒng)籌與對策
萱萱中午做的菜是燒豆腐，共需要七道工序，每道工序的時間如下：切豆腐2分鐘，切肉片2分鐘，準(zhǔn)備蔥姜蒜3分鐘，準(zhǔn)備佐料1分鐘，燒熱鍋2分鐘，燒熱油2分鐘，炒菜4分鐘，那么萱萱燒好這道菜最少需要幾分鐘？
切豆腐A 切肉片B 準(zhǔn)備蔥姜蒜C 準(zhǔn)備佐料D 炒菜G
燒熱鍋E 燒熱油F
分類ABCD是一類，EF是一類（可以和ABCD同時進(jìn)行），前面全部準(zhǔn)備好了才能進(jìn)行G
P77（四年級）第1題（3★）統(tǒng)籌與對策
甲乙丙三名車工準(zhǔn)備在同樣效率的三個車床上車出七個零件，加工各零件所需的時間分別為4,5,6,6,8,9,9分鐘，三個人同時開始工作，問：經(jīng)過合理分工，最少經(jīng)過多少分鐘可以車完全部零件？
極限時間是4+5+6+6+8+9+9=47,47÷3=15.6→16分鐘
等于16的零件組合4+6+6，但是此時剩下的兩兩組合無論如何都大于16.
再考慮17，零件組合8+9，剩下的4+5+6和6+9可以滿足要求。
P82（四年級）第6題（3★）多位數(shù)與小數(shù)
計(jì)算：27.8×28.7-27.7×28.8
=27.8×28.7-27.7×（28.7+0.1） 沒有相同的部分，分解出相同的部分
=27.8×28.7-27.7×28.7-27.7×0.1 相同的部分進(jìn)行統(tǒng)一
=28.7×（27.8-27.7）-27.7×0.1
=2.87-2.77
P84（四年級）第2題（1★）平均數(shù)
請求出103,109,105,101,110,102,106,104這8個數(shù)的平均數(shù)？
可以統(tǒng)一的相同部分是100，那么只要計(jì)算3+9+5+1+10+2+6+4=（3+2+5）+（9+1）+10+（6+4）=40（分類），再除以8，再加上相同的100。
P85（四年級）第8題（3★）平均數(shù)
萱萱參加了若干次考試，在最后一次考試時發(fā)現(xiàn)，如果這次考試得97分，那么她的平均分是90分，如果這次考試得73分，那么她的平均分是87分，萱萱一共參加了多少次考試？
前面的總分+97/考試的次數(shù)=90→前面的總分+97=90×考試的次數(shù)→97-73=3×考試的次數(shù)
前面的總分+73/考試的次數(shù)=87 前面的總分+73=87×考試的次數(shù)
兩次考試，差了97-73=24分，分?jǐn)?shù)被所有考試平均分配，每門提高了3分。
P88（四年級）第7題（5★）平均數(shù)
一次考試，男生的平均分比總平均分高2分，女生的平均分比總平均分低1分，男生總分是942，女生總分是1800，求男生女生各有多少人。
有一個男生有10塊錢，女生的平均的錢是7塊，男生女生總的平均的錢是8塊，女生有幾名？
每名男生女生相差3分，同樣多人數(shù)（1份，圖中一豎格）的男生，女生總分900，男生942，你說男生有多少名？
當(dāng)然列個方程是最簡單的，但是，分析題目，畫圖，推理，解決問題的過程本身，就是數(shù)學(xué)的樂趣所在，和娃一起分析題目，然后畫圖，看誰畫的更簡單明了，比做出這個題重要的多。
我經(jīng)常和娃說，碰到奧數(shù)題，自己會做不算本事，有些題班里沒幾個人會，但是你一個圖一畫，幾個步驟一講，班里數(shù)學(xué)最差的都能聽懂，那才叫本事。
P94（四年級）第2題（4★）復(fù)雜豎式
在圖示的加法豎式中，相同的字母表示相同的數(shù)字，不同的字母表示不同的數(shù)字，請問MONEY所表示的五位數(shù)最大是多少？
S H O W S進(jìn)位了，H+T最多也只能進(jìn)一位，所有S是9，O是0，M是1.
M E 突破口要找到，后面的解題步驟不做要求。
+T H E
M O N E Y
P96（四年級）第1題第1小題（1★）橫式
請?jiān)谙旅鎯蓚€算式的□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立，并且算式中數(shù)字關(guān)于等號左右對稱。
12×23□=□32×21
2×左邊的個位□=2×1=2 →左邊□等于1或者6 分別代入后發(fā)現(xiàn)1符合要求
12×231=2310+462=2772，千位是2，右邊□00×21乘出來千位是2，右邊□只能是1。
P104（四年級）第8題（3★）格點(diǎn)與割補(bǔ)
典型的割（分解成小部分）補(bǔ)（統(tǒng)一成整體）
后面的解答很詳細(xì)，看到圖應(yīng)該就可以理解解題的思路。
P109（四年級）第10題（3★）行程問題
東西兩城相距75千米，小明從東向西走，每小時走6.5千米，小強(qiáng)從西向東走，每小時走6千米，小輝騎自行車從東向西行，每小時行15千米，三人同時出發(fā)，途中小輝遇見小強(qiáng)即折回向東騎，遇見了小明又折回向西騎，再遇見小強(qiáng)又折回向東騎。。。這樣往返，直到三人在途中相遇為止，請問：小輝共騎了多少千米？
正常的行程問題，需要畫線段比例圖，但是這個題，如果多次相遇，畫圖就太煩了（畫圖不是萬能的，一個方法無從下手的時候，就換個思路），那么就想辦法統(tǒng)一，找共同的點(diǎn)，很明顯，相遇時，三個人花的時間相同，那么不考慮小輝，只考慮小明小強(qiáng)（分類討論），計(jì)算所花時間很簡單75/（6.5+6）=6小時。
P110（四年級）第6題（3★）行程問題
某小學(xué)組織學(xué)生去春游，隊(duì)伍行進(jìn)的速度是每秒2米，宋老師以每秒4米的速度從隊(duì)尾跑到隊(duì)頭，再回到隊(duì)尾，共用了6分鐘，請問：隊(duì)伍的總長是多少米？
去隊(duì)頭 相對速度 回隊(duì)尾 相對速度
宋老師 →→ →→ →→ ←←←← ←←←←→→
隊(duì)伍 →→ →→
兩次的相對速度為2米/秒和6米/秒，走的距離都是隊(duì)伍的長度，一共用了6分鐘，和差倍問題，跑的快的用了1.5分鐘，6×1.5×60=540米。
行程問題的基本解題思路是畫線段比例圖，但是，某些情況，要找特殊的統(tǒng)一的點(diǎn)，相同的時間，相同的路程，這樣更容易解決問題。
P117（四年級）第6題（3★）行程問題
某科研單位每天派汽車早上8點(diǎn)準(zhǔn)時到工程師家接他上班，但今天早晨，工程師臨時決定提前到單位，于是他沒有等汽車來接，就自己步行去單位， 途中遇到了來接他的汽車，他馬上上車趕到單位，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比平時早到了30分鐘，問：工程師上車時是幾點(diǎn)幾分？
家 相遇處 單位
8點(diǎn) ←←←←←← ←←←←←←←←← 汽車去接工程師，正常走的路
→→→→→→ →→→→→→→→→
—————— ←←←←←←←←← 汽車去接工程師，今天走的路
—————— →→→→→→→→→ 汽車少走的路用—表示
汽車早到單位30分鐘，是因?yàn)槠嚱裉焐僮吡?0分鐘的路，這個30分鐘是有往返兩段，那么汽車單程比平時少用了15分鐘，也就是說汽車今天提前15分鐘與工程師相遇，那么相遇時間就是7點(diǎn)45分。本題，書后的解題畫的圖，更加的簡單易懂。
行程問題的一些45星題，畫圖都要半天，我覺得是沒有必要去做的，以后可以列方程解決，做題是鍛練思維，不是給自己增加無用的工作量，
P120（四年級）第2題第1小題（2★）幻方與數(shù)陣圖
如圖，在3×3的方格表的每個空格中填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)，使得每行每列每條對角線上的各數(shù)之和都相等。
16□□ 找到基準(zhǔn)，16+11+12=39，第二行只有一個未知11+□+15=39，求出中間數(shù)13。
11□15 然后求出對角線，再求出第一行第三行的未知數(shù)。
12□□
P127（四年級）第3題（1★）排列組合
體育課上，老師從10名男生中挑出4人站成一排，一共有多少種排列方法？
□□□□ 有四個位置，第一個位置可以在10個人里面隨便選，第二個位置可以在剩下的9個人里面隨便選。。。
P129（四年級）第5題（1★）排列組合
計(jì)算C39
數(shù)學(xué)需要提前學(xué)，才能有優(yōu)勢，可是，四年級的娃哪里會排列組合，先慢慢的按照枚舉法來講各種可能性，然后再講排列和組合，一定要多用簡單易懂的例子慢慢講，我們只是奧數(shù)入門，不是去考清華。
西瓜蘋果梨菠蘿4種水果，隨便選一個吃有多少可能，隨便選兩個放袋子里，有多少種可能，隨便選2個分別早上吃和晚上吃，有多少種可能？
西瓜蘋果梨菠蘿香蕉草莓呢？
P133（四年級）第10題（3★）計(jì)數(shù)綜合
5名同學(xué)排成一排照相，如果阿呆和阿瓜一定要站在一起，有多少種照相的方式？
把阿呆和阿瓜站一起看做一個統(tǒng)一的整體（要么呆左瓜右，要么瓜左呆右，2種方式），那么就變成4個人站一起拍照有多少可能。
P137（四年級）第2題（2★）最值問題
用1,2,4可以組成6個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這些三位數(shù)中相差最小的兩個數(shù)之差是多少？
后面的解答用了枚舉法，然后一個一個計(jì)算。
三位數(shù)相差最少，在百位有相差肯定相差最大（分類討論），那么肯定百位是相同的，那么只要考慮個位和十位，那就簡單了。
有沒有發(fā)現(xiàn)，枚舉法算出來的差值，都是9的倍數(shù)，為什么？
421（A）,412（B）,241（C）,214（D）,142（E）,124（F），一共6個數(shù)據(jù)，兩兩相減，可以分成2類，A-B,C-D,E-F是一類，它們的百位都相同，變成21-12,2×10+1-（1×10+2），10A+B-（10B+A）=9A-9B=9（A-B）一定是9的倍數(shù),B-C,D-F是一類，412-241，41×10+2-（2×100+41）=10A+B-（100B+A）=9A-99B=9（A-11B）也一定是9的倍數(shù)。
P140（四年級）第14題（4★）最值問題
如圖，在正方體的左下角A處有一只螞蟻，它要沿著正方體的表面爬到正方體的右上角的B，為了使這只螞蟻所走的路線長度最短，應(yīng)該怎么走？
把立體圖形統(tǒng)一成平面圖形去解決。
平面上的路線問題好解決，那就把立體曲面都統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成平面去解決。
P143（四年級）第6題（2★）邏輯推理
列表格，畫圖真的是一個很重要的方法，特別是對某些題型。
這種邏輯的題，我在教娃的時候?qū)嶋H上是跳過的，又不是做偵探，沒必要搞這么復(fù)雜的推理，但是，這個題的解題思路要看一下，很明顯的利用圖表去分類去解決問題，以后有些題目，無從下手的時候，也可以試試這個畫圖表的方法。
P2（五年級）第8題（2★）分?jǐn)?shù)計(jì)算與比較
比較下列分?jǐn)?shù)的大?。?,1/17與4/85,2,7/24與23/60
1,1/17=5/85 統(tǒng)一成同一分母
2,8/24=1/3=20/60 在比較的時候，有時候通分不能解決問題，需要找到一個中間數(shù)，一個橋梁，來聯(lián)系前后兩個數(shù)據(jù)
P4（五年級）第8題（3★）分?jǐn)?shù)計(jì)算與比較
這里用了分解（2006→2005+1），分解的目的是為了能夠有相同的部分可以統(tǒng)一比較（整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分）。
P6（五年級）第4題（4★）分?jǐn)?shù)計(jì)算與比較
分類，把一類的（相同分母）統(tǒng)一到一起。
P7（五年級）第3題（2★）整除
有如下4個自然數(shù)：2695,1804,1963,23205，這些數(shù)中哪些能被11整除？哪些能被7整除？哪些能被13整除？
三位截?cái)喾ǎ捎?001=7×11×13，假設(shè)一個6位數(shù)abcdef，可以看成1000abc+def=1001abc-abc+def，由于1001是7,11,13的倍數(shù)，只要看余下的部分def-abc。
P13（五年級）第1題（1★）質(zhì)數(shù)合數(shù)
請寫出50以內(nèi)的所有的質(zhì)數(shù)。
有些數(shù)學(xué)的基本知識，就如乘法口訣，沒有別的辦法，必須記住，要不后面的題沒法做。
偶數(shù)除了2就不要算了，只要看尾數(shù)是13579的，5這一列除了5，其它都是5 的倍數(shù)，也要排除，乘法口訣表里9的倍數(shù)也排除，7的倍數(shù)也排除，還有3的倍數(shù)，剩下的這些就要多看多記了。
P15（五年級）第7題（3★）質(zhì)數(shù)合數(shù)
三個連續(xù)自然數(shù)的乘積等于39270，這三個自然數(shù)的和等于多少？
39270=2×3×5×7×11×17（分解），如果為17則。。。如果為2×17。。。（分類）
P19（五年級）第2題（2★）包含排除
暑假里，萱萱和小高一起討論“金陵十八景”，他們發(fā)現(xiàn)十八景中的沒處都有人去過，而且有五處是兩人都去過的，如果萱萱去過其中的十二景，那么小高去過其中的幾景？
這種題，畫出維恩圖來（畫圖），就能解決，數(shù)學(xué)的很多知識是有聯(lián)系的，現(xiàn)在在這種類型的題里練習(xí)畫圖，以后講到集合的時候?qū)W起來就簡單了。
不會畫圖，我只能用表格來表示，大概可以顯示出來了。
P29（五年級）第5題（3★）行程問題
輪船從A城行駛到B城需要3天，而從B城回到A城需要4天，請問，在A城放出一個無動力的木筏，它漂到B城需要幾天？
總路程一定一個快一個慢，是因?yàn)橐粋€順?biāo)粋€逆水，總路程一定時時間和速度成反比，我假設(shè)總路程是12，一個速度是3，一個速度是4，水速是（4-3）/2=0.5，光靠水速需要時間是12/0.5=24天。（順?biāo)嫠墓揭约嚎醋约和评恚?/p>
P29（五年級）第7題（3★）行程問題
某人在河里游泳，逆流而上，他在A處丟失一只水壺，向前又游了20分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟了水壺，立即返回追尋，在離A處2千米的地方追到，假定此人在靜水中的游泳速度為每分鐘60米，求水流速度。
解題需要找到統(tǒng)一的地方，相等的地方，流水問題，需要考慮水速，但是，這個題有特殊性，學(xué)了物理的相對運(yùn)動以后，在A處開始，不考慮水速（統(tǒng)一，人在水里，水壺也在水里），人向前游了20分鐘，回來也是20分鐘。在電梯上，掉了個東西，又回頭撿。在高鐵上，掉了個東西，又回頭撿（很顯然，我們不考慮高鐵的速度，走開多久，回來撿也是多久）。在地球上（地球在自轉(zhuǎn)，速度實(shí)際非常大，但是我們不會考慮），掉了個東西，又回頭撿。這些情況，背景速度都不同，但是我們考慮相對運(yùn)動以后，可以不考慮。
水壺漂了40分鐘，走了2千米，水速就是2000/40。
P32（五年級）第4題（4★）行程問題
在一條圓形跑道上，甲乙兩人分別從AB兩點(diǎn)同時出發(fā)，反向而行，6分鐘后兩人相遇，再過4分鐘甲到達(dá)B點(diǎn)，又過8分鐘兩人再次相遇，則甲乙兩人繞跑道環(huán)形一周各需要多少分鐘？
畫圖，畫出圓形年輪圖，找出各次相遇時的關(guān)鍵點(diǎn)（時間統(tǒng)一或者路程統(tǒng)一）。
行程問題，第一步就是要畫出示意圖來，線段圖，年輪圖。然后再去找關(guān)系。
同時注意，在圓形跑道上的追及問題，要區(qū)分同向反向，同向是快的比慢的多走一整圈，反向是兩個加起來走了一整圈。以后碰到動點(diǎn)的問題，一定要區(qū)分誰追誰，怎么追。
P35（五年級）第5題（2★）幾何計(jì)數(shù)
如圖，在一個4×4的方格表中，共有多少個正方形？
分類，邊長為1的正方形有幾個，邊長為2的正方形有幾個。。。
分類的時候，按照一定的順序和邏輯分類，才不容易有遺漏。
P35（五年級）第7（3）幾何計(jì)數(shù)
圖不會畫，看原圖，當(dāng)有很多東西的時候，最好就是先分類，轉(zhuǎn)化成比較少的情況后計(jì)算，然后再相加的。
清點(diǎn)貨物知道吧，一起點(diǎn)很麻煩，萬一點(diǎn)錯一個就要從頭開始，分類后，一類一類的點(diǎn)，然后再相加，就簡單多了。
P41（五年級）第9題（2★）約數(shù)倍數(shù)
甲數(shù)和乙數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90，如果甲數(shù)是18，那么乙數(shù)是多少？
分解90=3×5×6，一個數(shù)是6A,一個數(shù)是6B，一個數(shù)是18=3×6，那么另一個就是5×6=30。
后面的解題方法的思路是，A=a×b，B=a×c，AB=a×b×c·a，B= a×b×c·a/A=6*90/18。
P46（五年級）第3題（2★）分?jǐn)?shù)循環(huán)小數(shù)
把下列循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)。（循環(huán)小數(shù)的點(diǎn)不知道怎么打，看原題）
首先，知道1/9是多少，1/99是多少，（1/9）×4,（1/99）×35,（1/9）×8÷10，（1/9）×8÷10+3/10.
知道一些基本的元素，通過分解目標(biāo)小數(shù)，轉(zhuǎn)化統(tǒng)一成已知的元素，最后再化簡。
1/99=0.010101010101…，1/9=0.111111111…，1/90=0.011111111…，11/90=10/90+1/90=1/9+1/90=0.11111111…+0.01111111…=0.122222222…
P47（五年級）第2題（3★）分?jǐn)?shù)循環(huán)小數(shù)
第34小題的解答有講到混循環(huán)小數(shù)，可以看一下，記一下公式，萬一以后碰到這種題。
P51（五年級）第2題（2★）比較估算
有5個數(shù)，將它們從大到小排列。
統(tǒng)一，分?jǐn)?shù)統(tǒng)一成小數(shù)，兩位小數(shù)看不出來的話，統(tǒng)一到大家都是四位小數(shù)再比較。（統(tǒng)一形式，統(tǒng)一位置。）
P53（五年級）第3題（3★）比較估算
比較3/5+5/20和3/6+6/20。
當(dāng)A和B本身不好比較的時候，轉(zhuǎn)變成看A-B的大小的情況。
P57（五年級）第1題（2★）數(shù)字謎
有一個整數(shù)，在它的個位與四位之間加上一個小數(shù)點(diǎn)后，得到一個小數(shù)，這個小數(shù)與原來的整數(shù)之差是264.6，求原來的整數(shù)。
A-A/10=9/10A，計(jì)算一下就行。很多時候，我用字母代替數(shù)字，尋找規(guī)律，然后再去計(jì)算，方便理解，同時提前讓孩子接觸一下初中學(xué)的代數(shù)的計(jì)算。
P64（五年級）第8題（2★）和差倍分
甲桶中的水比乙桶中的多1/5，丙桶中的水比甲桶中的少1/5，請問，乙丙兩桶哪桶水多？如果把三桶水倒入一個大缸里，甲桶中的水占其中的幾分之幾？
由題，我先把甲桶乙桶的水量進(jìn)行統(tǒng)一，假設(shè)乙桶有5份水，甲桶就是6份水，再統(tǒng)一丙桶，丙桶有6×（1-1/5）份水。
甲桶占總的水的比例，6/（5+6+4.8）。
把某個元素當(dāng)做單位1或者整體（整體可以是5，可以是其它），把其它元素按照相關(guān)關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)一，然后再進(jìn)行比較。
P67（五年級）第11題（3★）和差倍分
甲乙丙三根木棒插在水池中，它們的長度之和是360厘米，甲有3/4露在水面上，乙有4/7露在水面上，丙有2/5露在水面上，請問，水深多少？
很明顯，三根木棒水下部分是一樣的可以統(tǒng)一，甲有1/4在水面下，乙有3/7在水面下，丙有3/5在水面下，假設(shè)水下部分為3份長度，甲有12，乙有7，丙有5，一共有24份，一共長360厘米，每份360/24=15厘米，水下部分為3份長度，15*3=45 厘米。
想辦法找到共同的地方好去統(tǒng)一，然后再分析解決。
P69（五年級）第7題（5★）和差倍分
這種題現(xiàn)在來說太難了，以后在初中物理學(xué)到浮力密度以后就會碰到（超前了4年），可以看一下解答，在不懂浮力密度的情況下，就用和差倍分的方法解決這種題，關(guān)鍵是找到相同的比例關(guān)系，不變的長度差。
P75（五年級）第1題（3★）應(yīng)用題
植物園里菊花與月季花的盆數(shù)之比是3：4，蘭花與郁金香的盆數(shù)之比是5：6，菊花與郁金香的盆數(shù)之比是4：5，如果月季比蘭花多50多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？
比例給的是兩兩之比，要統(tǒng)一成相互之比，菊：月3：4，蘭：郁5：6，通過這個橋梁菊：郁4：5來統(tǒng)一，有3,6,4,5，那就通過公倍數(shù)（可以分成3份，6份，4份，5份，那么就一定是3,6,4,5的倍數(shù)），用60來統(tǒng)一，菊：月：蘭：郁48：64：50：60，菊：月：蘭：郁24：32：25：30，月季比蘭花多7份，多50多盆。
P77（五年級）第1題第1小題（1★）計(jì)算
計(jì)算1+2+4+8+16+32+64+128+256
分類，1+2=3,1+2+4=7,1+2+4+8=15。。。
統(tǒng)一，增加一個1構(gòu)成相同的部分,1+1=2,1+1+2=4,1+1+2+4=8。。。
原題=256×2-1.
解答用的錯位相減法，減去的也是統(tǒng)一的相同的部分。
P79（五年級）第2題第1小題（2★）計(jì)算
1+2+22+23+24+25+26+27。
分類，全是2的指數(shù)，就第一項(xiàng)不是，那就想辦法統(tǒng)一，加上一個1，讓第一項(xiàng)也變成2，2+2+2×2=2×2+2×2=2（2×2）=2×2×2，依次分類配對，最后原式變成2的8次減去1（原來多加上的1）
（和上一題實(shí)際上是一樣的，要提前把相應(yīng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識學(xué)了，要不孩子不知道27是什么）
P85（五年級）第3題（2★）直線型
一塊長方形的土地被分割成4個小長方形，，其中三塊的面積如圖，剩下的一塊的面積的多少平方米？
統(tǒng)一，相同行列的長方形，有相同的長或?qū)?，面積是a×長，b×長，所以面積有相應(yīng)的比例關(guān)系。15是30的一半，40旁邊的自然是40的一半。
P89（五年級）第9題第10題（3★）直線型
不會畫圖，麻煩看書上的原圖。
畫出對角線（AE，EF），找到共同點(diǎn)（統(tǒng)一的可以是長度，角度，面積，平行，相似，全等）。對于幾何題，畫出輔助線是難點(diǎn)，但是一般情況，畫的輔助線是一個橋梁，通過輔助線去找可以統(tǒng)一的地方，需要多練習(xí)。
P94（五年級）第5題（3★）圓扇形
如圖，求各圖形中陰影部分的面積。
用割補(bǔ)法，把不同的地方的面積，通過分割（分類）補(bǔ)充（統(tǒng)一），統(tǒng)一成一個方便計(jì)算的整體圖形（畫圖）。
P102（五年級）第9題（3★）余數(shù)
一個三位數(shù)，除以21余17，除以20也余17，這個數(shù)最小是多少？
X=21A+17，X=20B+17，分類成倍數(shù)和余數(shù)，把X-17看做一個統(tǒng)一的整體，X-17=21A，X-17=20B，X-17既是20的倍數(shù)也是21的倍數(shù)，20和21的最小公倍數(shù)是420，那么420+17就是答案。
P107（五年級）第4題（1★）工程問題
一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做20天可以完成，乙單獨(dú)做30天可以完成，現(xiàn)在兩人合做，用16天完成了工作，已知在這16天中甲休息了2天，乙休息了若干天，請問：乙休息了多少天？
把整個工作看做一個統(tǒng)一的整體（單位1），那么甲每天完成1/20，乙每天完成1/30（分解到最小單位，單位化），甲做了14天，完成了整個工作的14/20，那么剩下的3/10由乙來完成，3/10（剩余工作量）÷1/30（乙工作效率）=9（工作時間）。
P107（五年級）第7題（2★）工程問題
有一批工人做某項(xiàng)工程，原計(jì)劃4天完成，如果增加6人，只需要3天就能完成，現(xiàn)在人數(shù)不僅沒有增加，反而減少了9人，求完成這項(xiàng)工程需要的天數(shù)。
后面的解答挺好的，但是這里我要用畫圖的方式更直觀的講解一下。
原來工作4天 ■■■ ■ 分類，原來的4天分成3天加1天
現(xiàn)在工作3天 ■■■ 統(tǒng)一，原來的人工作效率不變，還是完成3天的工作量
▃▃▃ 多出來6個人干了3天做掉了原來的人干1天的活
如果假設(shè)每個人每天的工作為單位1,6個人3天干掉18份的工作，原來的人只需要干1天，那么原來就是18個人，現(xiàn)在少9個人，人數(shù)少一半，時間長一倍。
P110（五年級）第9題（3★）工程問題
蓄水池有甲乙丙三個進(jìn)水管，如果要灌滿整個水池，單開甲管需要10小時，單開乙管需要12小時，單開丙管需要15小時，上午8點(diǎn)開始三個管同時打開，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點(diǎn)水池被灌滿，問，甲管何時關(guān)閉？
首先假設(shè)總水量為60份，甲管每小時放水6份，乙管每小時放水5份，丙管每小時放水4份，從上午8點(diǎn)放水到下午2點(diǎn)是6個小時，乙管丙管沒有停，放6個小時是（5+4）6=54份，那么剩下的60-54=6份由甲管放，只放了1個小時，那么甲管9點(diǎn)就關(guān)閉了。
如果上午8點(diǎn)開始三個管同時打開，幾點(diǎn)水池能放滿？
如果上午8點(diǎn)開始三個管同時打開，甲管和丙管放水2個小時以后關(guān)閉，只剩下乙管放水，幾點(diǎn)水池能放滿？
P114（五年級）第1題（2★）牛吃草鐘表
有一片草地上原有300千克草，如果這片草地每天能長出10千克草，而每頭牛每天要吃5千克草，請問：6頭牛幾天會把這片草地吃完？
草地每天長成10千克草，每天被吃掉5*6=30千克草，那么草地上草的庫存量每天減少30-10=20千克，那么300/20=15天后草就被吃光。
書上后面解答的分類是一種方法，我來用另一種分類的方法，原有的草+長的草，每天長10千克正好夠2頭牛吃（統(tǒng)一），那么原來的草夠剩下的4頭牛吃幾天，就幾天吃完。
P115（五年級）第5題（2★）牛吃草鐘表
有一座時鐘現(xiàn)在顯示上午10點(diǎn)整，問：1，多少分鐘后，分鐘與時鐘第一次重合？2，再經(jīng)過多少分鐘，分鐘與時鐘第二次重合？
看起來是鐘表問題，實(shí)際是追及問題，需要區(qū)分的是時針與分針的速度，一圈60格，每分鐘分針走1格，每分鐘時針走5（一小時時針走5格）/60（1小時60分鐘）=1/12，還要確定追及的距離。
P116（五年級）第1題（2★）牛吃草鐘表
有一片牧場，草每天在均勻的生長，如果在牧場上放養(yǎng)18頭牛，那么10天把草吃完，如果放養(yǎng)24頭牛，那么7天把草吃完，請問：
如果放養(yǎng)32頭牛，幾天把草吃完？
要放養(yǎng)多少頭牛，才能恰好14天把草吃完？
沒本事畫圖，請看解答的圖，我推薦《高思導(dǎo)引》，90%是因?yàn)樗獯鹄锩娴膱D非常詳細(xì)直觀，有圖以后奧數(shù)的理解難度直線下降。
P123（五年級）第9題第10題（3★）直線型（沒本事畫圖，看書上原題）
第9題，這個題很經(jīng)典，初一看無從下手，但是加上公共的梯形后，兩個小三角形的差，變成大三角形與正方形的差。
第10題，對于邊長為3,4,5這樣的三角形，要有足夠的敏感，這個就是數(shù)學(xué)的意識，需要不斷的熟悉和養(yǎng)成，當(dāng)你眼中4和25不再獨(dú)立存在，而是能夠統(tǒng)一為100來看待的時候，這個基礎(chǔ)的意識就算培養(yǎng)出來了。
P124（五年級）第3題（2★）直線型（沒本事畫圖，看書上原題）
第一小題，水流出1/5，也就是空白的地方（三角形）面積為長方形的1/5，水箱放平，空白的地方為小長方形，面積為水箱的1/5，寬為1/5×20=4（長相等），三角形面積為1/2長×高，長方形面積為長×寬，這個1/2哪里來的？就是因?yàn)閮蓚€三角形可以拼成一個長方形。所以相同面積，同一個長，三角形的高為長方形的寬的2倍。
這里，把不同的形狀，用一個相同的面積來進(jìn)行統(tǒng)一，同時要理解三角形和長方形面積的基本原理。
P129（五年級）第1題（1★）行程問題
注意，平均速度絕對不是兩個速度的平均值，是對于一個完整統(tǒng)一的整體路程計(jì)算出的平均的速度。
P132（五年級）第2題（3★）行程問題
甲乙兩班進(jìn)行越野行軍比賽，甲班以4千米每小時的速度走了路程的一半，又以6千米每小時的速度走完了另外一半，乙班在比賽過程中，一半時間以4千米每小時的速度行進(jìn)，另一半時間以6千米每小時的速度行進(jìn)，問：甲乙哪個班將獲勝？
后面的解答用了兩種方法，我再來介紹一個數(shù)據(jù)代入法，假設(shè)總路程為120千米，那么甲走了60/4+60/6=15+10=25小時，乙兩段走的時間相同，路程就為速度之比4：6，即48和72，花了48/4+72/6=12+12=24小時。
數(shù)據(jù)代入法，在某些題型中，特別是選擇填空等不需要詳細(xì)計(jì)算推理過程的題目中，可以極大的減少工作量，但是選取的數(shù)據(jù)，需要一定的數(shù)學(xué)意識，可以多次替換選擇更合適的數(shù)據(jù)代入。
P137（五年級）第2題（2★）數(shù)字問題
一個兩位數(shù)等于它的數(shù)字和的6倍，求這個兩位數(shù)。
10A+B=6（A+B）=6A+6B→4A=5B
P142（五年級）第2題（2★）計(jì)數(shù)綜合
分母是30的最簡真分?jǐn)?shù)共有多少個？
枚舉法，一個一個寫出來，再數(shù)一下。
本講的很多題，都是通過不斷分類的方法來解決的。
P145（五年級）第1題（3★）計(jì)數(shù)綜合
本題的解答，畫出的圖對于分類非常有幫助。
對于本章的題目，我都不太會，但是3個原則仍然可以幫助解答。
P149（五年級）第3題（3★）構(gòu)造論證
這個題比較有代表性，看后面解答推理分析，分類討論，這種題目，做過一個，下次就大概知道怎么推理了。
P153（五年級）第2題（3★）抽屜原理
17名同學(xué)參加一次考試，考試題是3道判斷題（答案只有對或錯），每名學(xué)生都在答題紙上寫了3道題的答案，請問：至少有幾名同學(xué)的答案是一樣的？
需要先判斷有幾種答案，有2×2×2種（分類）。
有8種可能的答案，如果有8個人，最極限可以每人都是不同的答案，如果有16個人，最極限可以不同的答案最少為2人。
把3只筆放3個抽屜里（抽屜不能空），每個抽屜至少有1只筆，把4只筆放3個抽屜里（抽屜不能空），至少有一個抽屜里會有2只筆。（原理就是這個原理，和娃拿個幾個筆試一下就知道）
P1（六年級）第2題（1★）分?jǐn)?shù)數(shù)列
1/1×2+1/2×3+1/3×4+…1/9×10
這個題是這個類型的基本題，原理是裂項(xiàng)（分解），構(gòu)成可以前后相減的部分，后面還有在這個統(tǒng)一的元素的基礎(chǔ)上幾倍或幾分之幾的變化。
P7（六年級）第6題（4★）計(jì)算綜合
算式1+1/2+1/3+…+1/10的計(jì)算結(jié)果，小數(shù)點(diǎn)后第2008位是數(shù)字幾？
分類，1，1/2，1/4。。。這些常識性的有限位的小數(shù)壓根就沒有小數(shù)點(diǎn)后第2008位數(shù)字，就不用考慮，那么只要考慮無限循環(huán)小數(shù)就行，1/3，1/6，1/7，1/9需要計(jì)算，1/3和1/6實(shí)際又是一類，可以統(tǒng)一成1/2這個有限位小數(shù)，那么只要考慮剩下的兩個1/7和1/9，1/9是常識性的特殊數(shù)字，0.111111…那么只要考慮1/7，不知道，拿出草稿紙計(jì)算一下，發(fā)現(xiàn)是6位數(shù)字為一個循環(huán)周期（統(tǒng)一）的無限小數(shù)，加上0.111111…構(gòu)成一個新的循環(huán)小數(shù)，再去分解2008有多少個6。。。
本題多次應(yīng)用了分解統(tǒng)一的原理。
P7（六年級）第9題（3★）計(jì)算綜合
計(jì)算1×2+2×3+…+19×20
原式=1×（1+1）+2×（2+1）+…=12+1+22+2…
P13（六年級）第3題（2★）比例應(yīng)用題
一段路程分為上坡和下坡兩段，這個兩段的長度之比是4:3，已知墨莫在上坡時每小時走3千米，下坡時每小時走4.5千米，如果墨莫走完全程用了半小時，請問：這段路程一共有多少千米？
不同于課后的解答，我這里用數(shù)據(jù)代入法，時間是路程除以速度，4/3和3/4.5都不好算，路程擴(kuò)大3倍就好算，那么假設(shè)總路程為上坡12千米，下坡9千米，時間12/3=4,9/4.5=2，總時間6小時，現(xiàn)在的時間是我假設(shè)時間的1/12，那么實(shí)際路程也為我假設(shè)路程的1/12,12+9=21,路程為21/12=7/4千米。
P17（六年級）第12題（3★）比例應(yīng)用題
一項(xiàng)工程，由若干臺機(jī)器在規(guī)定的時間內(nèi)完成，如果增加2臺機(jī)器，只需要用規(guī)定時間的7/8就可完成，如果減少2臺機(jī)器，就要推遲2/3小時才能完成，請問：1，在規(guī)定時間內(nèi)完成這項(xiàng)工程需要幾臺機(jī)器？2，由1臺機(jī)器去完成這項(xiàng)工程，需要多少小時?
▃▃▃▃ ▃▃▃ 增加2臺機(jī)器工作7份時間完成的工作量
■■■■ ■■■ ■ 完成了原來那些機(jī)器工作1份時間的工作量
2（臺機(jī)器）×7（份工作時間）=14（1臺機(jī)器1份工作時間的工作量）=原來那些機(jī)器工作1份時間的工作量
工作由14臺機(jī)器完成，減少2臺就是12臺，假設(shè)全部工作是A,原來需要A/14的時間，現(xiàn)在需要A/12的時間，A/12- A/14=2/3小時，A/14就是4小時。
P21（六年級）第4題（2★）方程解應(yīng)用題
唐老師給幼兒園大班的小朋友每人發(fā)了17張畫片，小班每人發(fā)13張畫片，已知大班人數(shù)是小班的3/5，小班比大班總共多發(fā)了126張畫片，求小班的人數(shù)。
學(xué)了列方程解應(yīng)用題這個方法以后，對于普通的孩子，解決應(yīng)用題是碾壓式的，人家拿著刀劍，你拿著沖鋒槍，人家在畫圖找規(guī)律，你只要設(shè)未知數(shù)，找到等量，列出方程，求出答案。
分類，區(qū)分有兩種類型的數(shù)量，一個人數(shù)，一個畫片數(shù)，對于每個類型，找到數(shù)量上的等量關(guān)系（統(tǒng)一），求解。
有了解方程，是不是前面講解的解題方法都沒有意義？這么說，如果是要打打殺殺，沖鋒槍當(dāng)然強(qiáng)，如果是強(qiáng)身健體，武裝5公里可以，打太極就不行了嗎？前面的方法，第一，鍛煉了孩子的思維，第二，當(dāng)時的年齡可能學(xué)不會解方程，第三，某些題型（幾何邏輯之類）沒有數(shù)量關(guān)系不能列方程。
P27（六年級）第3題（2★）濃度與經(jīng)濟(jì)
在120克濃度為20%的鹽水中加入多少克水，才能把它稀釋成濃度為10%的鹽水？
濃度=鹽/鹽+水，原來20%里的鹽質(zhì)量不變，濃度變成原來的一半，總質(zhì)量增加一倍就行，那就再加120克水。加多少鹽能讓鹽水的濃度變?yōu)?0%？
P29（六年級）第10題（3★）濃度與經(jīng)濟(jì)
王老師有1萬塊錢，打算存入銀行兩年，辦法一：存兩年的整存整取定期儲蓄，年利率為4.7%，到期后可以取出本金和利息一共多少元？辦法二：先存一年期的整存整取定期儲蓄，年利率為4%，到期后將本金和利息再存一年，最后本金和利息一共多少元？
辦法一，10000+10000×4.7%×2=10940
辦法二，第一年10000+10000×4%=10400，第二年10400+10400×4%=10816
這個題很簡單，但是復(fù)利和單利在生活中非常重要，要能夠把基礎(chǔ)的收益率（年化5%已經(jīng)不錯了）當(dāng)做常識，就不會再對說的好聽，一算收益率2%的保險動心，就不會再欠年化15%的信用卡或花唄，更不會去做那些號稱能有年化20%的投資，光這三條，就值這個講義的票價了。
P33（六年級）第6題（3★）濃度與經(jīng)濟(jì)
某商店將甲乙兩種奶糖混合在一起，甲種每份100克，售價1.65元，乙種每份100克，售價1.2元，原打算將兩份甲種混合到一份乙種中去，后來改變混合的方式，將一份甲種混合到兩份乙種中去，問，顧客買10千克這種奶糖比原來省多少錢？
很明顯300克是一個可以統(tǒng)一的數(shù)量，原來300克混合奶糖=1.65×2+1.2=4.5元，后來300克混合奶糖=1.65+1.2×2=4.05元，每300克相差0.45元，那么10000克相差0.45×10000/300=15元。
P34（六年級）第2題（3★）邏輯推理
甲乙丙丁與小強(qiáng)5位同學(xué)一起參加象棋比賽，每兩人都要賽一盤，到目前為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤，問：小強(qiáng)賽了幾盤？
本題的解答，畫出的圖非常經(jīng)典。
P44（六年級）第10題（3★）最值
本題的解答，畫出的圖非常經(jīng)典。需要把甲地（或乙地）轉(zhuǎn)變成鏡像里的那個甲1，甲地到河再到乙地的距離，就統(tǒng)一成甲1到乙地的距離，后面解題的證明方法也需要理解。
P47（六年級）第6題（4★）最值
如圖，有一個圓錐形沙堆的底面直徑BC為2厘米，母線AC的長度為6厘米，請問：1，如果一只螞蟻想從B點(diǎn)去C點(diǎn)，最短路線應(yīng)該怎么走？2，如果一只螞蟻需要由B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)線段AC上任意一點(diǎn)，那么最短路線應(yīng)該怎么走？
本題的解答，畫圖，把立體圖形展開統(tǒng)一到平面圖形（很多題由于本身元素的差異，似乎沒有什么辦法，需要統(tǒng)一成某種別的形式，立體統(tǒng)一成平面，某點(diǎn)統(tǒng)一成對稱點(diǎn)）。P46的第14題也是這樣，需要把立體圖形展開統(tǒng)一到平面圖形，再分類討論。
P48（六年級）第3題（1★）不定方程
有兩種不同規(guī)格的油桶若干個，大油桶能裝8千克油，小油桶能裝5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶，問：大，小油桶各多少個？
8A+5B=44，由于油桶個數(shù)肯定為整數(shù)，可以按照大油桶的個數(shù)從小到大分類討論，1個大油桶8+5B=44，不行（B有解，但不是整數(shù)），2個大油桶16++5B=44，不行，3個大油桶24+5B=44，B=4。。。
P50（六年級）第2題（2★）不定方程
采購員去超市買雞蛋，每個大盒有23個雞蛋，每個小盒有16個雞蛋（盒子不能拆開），采購員要恰好買500個雞蛋，請問，他要怎么買？
首先假設(shè)買大盒A小盒B，那么23A+16B=500，等式兩邊除以16，16A+7A+16B=7A+16（A+B）=500=31×16+4，16A和16B除以16后為A+B為整數(shù)，那么7A和500除以16以后的余數(shù)應(yīng)該相等且等于4，7A=16N+4，16是4的倍數(shù)，余數(shù)是4，那么7A一定也是4的倍數(shù)（拿雞蛋裝盒子里，總數(shù)不知道，但是每個盒子里的數(shù)量都是4的倍數(shù)，最后還剩了4個，那么總數(shù)也一定是4的倍數(shù)），A可能為4，8，12…代入進(jìn)去試試。
P55（六年級）第3題（3★）立體幾何
用棱長是1厘米的小立方體拼成如圖所示的立體圖形，這個圖形的表面積是多少？
分類，分成上下左右前后6個面，分別計(jì)算，最后再加起來。
P57（六年級）第3題（3★）立體幾何
如圖所示，有30個棱長為1米的正方體堆成一個四層的立體圖形，請問：這個立體圖形的表面積等于多少？
還是分類到6個面來計(jì)算，四個側(cè)面是統(tǒng)一的一樣的圖形，上下兩面又是一樣的圖形，10×4+16×2。
P57（六年級）第4題（3★）立體幾何
第一問，要知道切掉一個正方體后，表面積實(shí)際不變，只是由凸出的3個面，變成了凹進(jìn)去的3個面。對于一個正方體，前后左右上下6個面，前→后，左→右，上→下，只是換了個位置，面積沒有變（統(tǒng)一）。
第二問，實(shí)際上就是少了兩個切掉的正方體相交的那個面（解答的圖中的陰影部分）（分類，和第一問一樣，不變的地方不考慮，只要考慮變了的部分），本來小立方體算一遍，大立方體算一遍，現(xiàn)在直接減掉4×4×2=32。
解答的圖很詳細(xì)很明顯，一看就能看出來。
P61（六年級）第2題（3★）幾何綜合
如圖所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度？
分類，∠1+∠2，∠3+∠4，∠5+∠6。
統(tǒng)一，∠1的對頂角+∠2的對頂角+∠A（上頂角）=180，∠3+∠4的對頂角+∠B（左下角）=180，∠5的對頂角+∠6 +∠C（右下角）=180，∠A∠B∠C在同一個大的三角形中，∠A+∠B+∠C=180，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠1的對頂角+∠2的對頂角+∠A（上頂角）+∠3+∠4的對頂角+∠B（左下角）+∠5的對頂角+∠6 +∠C（右下角）-（∠A+∠B+∠C）=180×3-180=360。
P65（六年級）第11題（4★）幾何綜合
兩盞4米高的路燈相距10米，有一個身高1.5米的同學(xué)行走在這兩盞路燈之間，那么他的兩個影子總長度是多少米？
畫圖，然后找到相似（統(tǒng)一的形狀，大小具有比例關(guān)系），對于沙漏三角形和同角一大一小三角形，要熟練找到相似，當(dāng)然小學(xué)好像沒有學(xué)到相似，但是這個定義還是很好理解的，形狀相同（統(tǒng)一），大小不相等（區(qū)別）。
P68（六年級）第1題（3★）幾何綜合
P71（六年級）第8題（4★）幾何綜合
畫圖，分類（某個區(qū)域分成A，B或者S1，S2，S3），統(tǒng)一（找到相同的部分）。
看后面的圖，解答很簡單，推理過程一定要看懂。
P75（六年級）第1題（2★）計(jì)數(shù)綜合
一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階，走完這個10級臺階，一共可以有多少種不同的走法？
列表（畫圖），類推（分類）。
P81（六年級）第8題（3★）計(jì)數(shù)綜合
數(shù)字和為9，而且不含數(shù)字0的三位數(shù)共有多少個？四位數(shù)有多少個？
要是我的話，肯定是去分解9，然后分類討論，最后可能數(shù)相加。
后面的解答很不錯，轉(zhuǎn)化成另一種形式的題（統(tǒng)一，轉(zhuǎn)化后的題和原來的題當(dāng)然是一致的），很容易理解和解決。
P86（六年級）第2題（3★）行程問題
萱萱去外婆家，途中要經(jīng)過上坡平路和下坡各一段，路程比是1:2:1，已知萱萱在三種路段上行走的速度之比是3:4:6，且在平路上行走的時間是25分鐘，那么萱萱去外婆家路上一共花了多少時間？
數(shù)據(jù)代入法，設(shè)路程是6:12:6，時間就是路程除速度，2:3:1，3份時間是25分鐘，總時間是6份就是50分鐘。
P94（六年級）第8題（3★）數(shù)論綜合
有一個算式6×5×4×3×2×1，小明在上式中把一些×換成÷，計(jì)算結(jié)果仍然是自然數(shù)，那么這個自然數(shù)最小是多少？
結(jié)果是自然數(shù)，說明除的數(shù)字并沒有把算式除成小數(shù)，說明除的數(shù)字可以和算式中其它數(shù)字相約，原式是6×5×4×3×2×1，有一個除（這里用4做例子），就變成6×5×3×2×1/4，在草稿紙上寫成分式的形式更好理解，把一些×換成÷，就是一些數(shù)從分式的上面變到下面，也就是可以約的數(shù)最大，結(jié)果最小。
P99（六年級）第2題（3★）數(shù)字謎綜合
在算式1/18+1/a+1/b+1/c=1中，abc分別代表三個不同的自然數(shù)，這三個數(shù)的和可能是多少？
如果a＜b＜c，那么1/a+1/b+1/c=17/18，通分（ab+bc+ac） /abc=17/18，abc=18=2×3×3（統(tǒng)一，并不是abc相乘的積等于18，是可以通分成18，那么abc和18所含的元素一定相同），abc肯定是由2,3,3組合成的18的因數(shù)，2,3,6,9，18，統(tǒng)一9/18，6/18，3/18,2/18,1/18看一下哪三個加的出17，9/18+6/18+2/18=17/18，對應(yīng)的是1/2+1/3+1/9=17/18，則abc為2，3，9。
P106（六年級）第1題（2★）應(yīng)用題
一個騙子到商店買了5元的東西，他付給店員50元錢，然后店員把剩下的錢（45）找給了他，這時他又說自己有零錢，于是給店員5元的零錢，并且要回了開始給的50元，請問，這個騙子一共騙了多少錢？
騙子付出50+5=55元，得到5（東西）+50（要回）+45（找錢）=100元，等于增加了也就是騙到了45元。
分類看，付出多少，得到多少。還有那種用假幣或者賣假貨，問盈虧的，還是分類，對于會計(jì)來說，這些簡直是基本功，不管中間發(fā)生什么情況，只要區(qū)分“借”“貸”，最后匯總統(tǒng)一算一下就行。
P115（六年級）第4題（3★）應(yīng)用題
現(xiàn)有甲乙丙三種糖水個200克，濃度依次為42%，36%，30%，現(xiàn)在要配制濃度是34%的糖水420克，至少要取甲種糖水多少克？
配制34%的糖水一定需要大于這個濃度的糖水和小于這個濃度的糖水，大于這個濃度的有甲乙，要求甲用最少，乙就要最大，最大是200，420×0.34=142.8,200×0.36=72，那么還有70.8的糖由甲丙提供，設(shè)甲是A，丙就220-A，A×0.42+（220-A）×0.3=70.8。
P121（六年級）第1題第1小題（1★）進(jìn)制與取整
請?jiān)谙铝兴闶降拿總€空格中填入0或1使等號成立
20=□×24+□×23+□×22+□×21+□×20
這個就是基本的二進(jìn)制的定義，和十進(jìn)制一樣也分為不同的位數(shù)，只是沒有個十百千萬（10的1次，2次，3次，4次。。。），而是變成2的1次，2次，3次，4次。。。
二進(jìn)制可以通過分解，變成和十進(jìn)制統(tǒng)一的基本形式，這樣就方便理解多了。
P127（六年級）第9題（3★）數(shù)論綜合
卡利亞小高和墨莫三人經(jīng)常去電影院，卡利亞每隔2天去一次，小高每隔4天去一次，墨莫每隔6天去一次，今天他們都去電影院，將來會有連續(xù)三天都有人去電影院，如果今天是第一天，那么最早出現(xiàn)具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是哪三天？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213141516171819
卡利亞 ● ○ ○ ● ○ ○ ● ○ ○ ● ○ ○ ● ○ ○ ● ○ ○ ●
小高 ● ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○●
墨莫 ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○○●
畫圖最大的優(yōu)勢就是不用動腦子，一眼就能看出來。
P145（六年級）第4題（2★）概率
一個普通的骰子有6個面，分別寫著123456，擲出這個骰子，它的任何一面朝上的概率都是1/6，如果你將某個骰子連續(xù)投擲了9次，每次的結(jié)果都是1點(diǎn)朝上，那么第十次投擲都，朝上的面上的數(shù)字是奇數(shù)的概率是多少？
統(tǒng)一，不管投擲了多少次，前面的情況是如何，再一次投擲（一個獨(dú)立的新的事件）6個面朝上的機(jī)會應(yīng)該是相等的。
P145（六年級）第5題（2★）概率
小高與墨莫做游戲，由小高拋出3枚硬幣，如果拋出的結(jié)果中有2枚或者2枚以上的硬幣正面朝上，小高就獲勝，否則墨莫獲勝，請問：這個游戲公平嗎？
○○○ ○○● ○●○ ○●● ●○○ ●○● ●●○ ●●●
特別要當(dāng)心，單次的拋硬幣肯定只有正反兩面的情況，但是幾正幾反組合以后就不一定了，下一題就是很明顯的這樣的例子。
P147（六年級）第6題（2★）概率
大頭擲出2枚骰子，擲出的兩個數(shù)字之和恰好等于10的概率是多少？
每次擲的每個數(shù)字的概率是統(tǒng)一的，那么兩次數(shù)字的和的各個數(shù)字的概率是一樣的嗎？
可以畫出一個6×6的表格，很顯然兩次的數(shù)字之和有2-12，其中7的概率最大。
一定要注意，哪些是可以統(tǒng)一的（每次都是獨(dú)立的，互不影響），哪些必須分類討論（有36種獨(dú)立的可能，數(shù)字和很明顯不獨(dú)立）。
學(xué)了概率，還能算期望值，就是按照這樣的概率能不能賺錢，要算總體的，而不是只看某次，什么抽獎彩票，都沒有進(jìn)行的必要，雖然有人中500萬，但是返獎率（這個都有公示）很喜人，就算70%，兩次就是49%，等于本金兩次就減半，巴菲特都要哭出來。
（校門口的小店總有各種各樣的抽獎，你要知道，從總體概率上來說，與其去抽獎，還不如自己存錢，買自己喜歡的東西。）
數(shù)學(xué)很重要，有了一些數(shù)學(xué)常識，在生活中，不說賺多少錢，至少虧錢的概率直線下降。
P151（六年級）數(shù)學(xué)家的故事
一定要看完，看看那些數(shù)學(xué)家的厲害之處，真的，數(shù)學(xué)對于人類的價值無可比擬，數(shù)學(xué)的發(fā)展推動著人類社會的發(fā)展。
高斯，是我在初中時，第一次知道原來可以用尺規(guī)作出正十七邊形后，無比震撼，超級敬仰的數(shù)學(xué)的大神。
最后，感謝大家愿意把這個講義看到最后。由于個人非專業(yè)奧數(shù)老師，只是出于個人的愛好和愿望寫的這個講義（小時候總想著有本書可以把奧數(shù)講一遍，然后可以打遍天下無敵手，可惜那時候我只有《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》，輔導(dǎo)娃的時候有了各種各樣的奧數(shù)書，但都覺得太長太多（隨便一個年級就是一本，就是幾百頁，隨便一個專題就是幾十個題），好好的學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣沒有了，變成了題海，就不能簡簡單單的，輕輕松松的把奧數(shù)講完？所以，我才花時間精力整理了這個講義，就是想盡量每個類型都講到，但是一定要簡單易懂，不用去上奧數(shù)班，就周末抽點(diǎn)時間，和娃一起畫個圖，利用三個原則，一邊喝著飲料，一邊把奧數(shù)學(xué)了，找到做數(shù)學(xué)的樂趣），講義里肯定會有很多紕漏和錯誤，請大家多包涵。
數(shù)學(xué)的入門，就是找相同（統(tǒng)一），找不同（分類），這個就是我自己總結(jié)的原則的直接來源，至于畫圖，對于孩子來說，簡單易懂的圖，是最好的理解題目的幫手。這3個原則是我總結(jié)的，每個人都可以自己去總結(jié)歸納，和孩子一起討論思考的過程，甚至雞飛狗跳的時間，都比做題重要的多。奧數(shù)都是有難度的，孩子聽懂了，理解了，記得獎勵雞腿和飲料。現(xiàn)在的家長都很現(xiàn)實(shí)，都想有什么東西可以讓娃立馬成績提升，但是對數(shù)學(xué)來說，方法比做題重要，思考比方法更重要。碰到問題，去思考去解決，才是真正的大道，才是數(shù)學(xué)對人生最大的作用。This is the way。
碰到題目，先去分類題目類型（最好能看出是雞兔同籠還是牛吃草還是和差倍或者別的類型，這樣就能大概知道怎么去應(yīng)對），劃重點(diǎn)（找出關(guān)鍵數(shù)據(jù)關(guān)鍵條件，特別有一些隱藏的條件，你說勾三股四后面是不是弦五，特別是能看出出題老師特意豎著個牌子的地方，牌子上寫著“陷阱”還是“關(guān)鍵”），試著畫圖（看看有沒有什么數(shù)據(jù)聯(lián)系和邏輯關(guān)系），分析題目（你要知道老師給你什么，問你什么），思考解題思路（有時候，會做了，還問問自己有沒有別的辦法），解題（草稿紙上可以天馬行空，正式解題過程要規(guī)范），檢查結(jié)果（有時候看到娃算出來3.5個人的時候是真的無可奈何）。
對于小學(xué)奧數(shù)來說，四本高思，一天3題慢慢的講，不走數(shù)學(xué)職業(yè)競賽的話，在學(xué)校里的數(shù)學(xué)水平絕對是綽綽有余了，而且高思的題，后面的解題步驟很詳細(xì)，3星以內(nèi)的題真的值得弄一遍。從五年級開始，高思上的題目的類型和難度直線增大，我選取的題可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有書上題目的1%，而且某些題目，就是后面的講解都要半頁紙，我盡量用較少的題，講解相關(guān)的解法與原理（我本想要能畫圖的每題都配有圖，但實(shí)在沒這個水平，都是用符合和表格代替），但肯定會有很大的遺漏，入門應(yīng)該夠了。但是，就算學(xué)完上面我講的所有，奧數(shù)也只是入門，更不能保證學(xué)校里考100分。別說是我，就是丘成桐說他有幾十頁的講義可以講通講全小學(xué)奧數(shù)，我都不信。
最后，最最重要的是，要付出足夠的時間和精力。學(xué)習(xí)沒有捷徑，沒有秘籍，何況數(shù)學(xué)。
圖片來自星球大戰(zhàn)官網(wǎng)
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2010
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