小初高數(shù)學(xué)路線之代數(shù)篇

大家爬過山都知道站在山頂回望，你會發(fā)現(xiàn)一覽無余。

就像戰(zhàn)爭年代，雙方一定要去占領(lǐng)制高點，只有占領(lǐng)了制高點，你才能對敵人的一舉一動洞若觀火，進(jìn)而采取合適的應(yīng)對。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦是如此！

小學(xué)六年、初中三年、高中三年，總共十二年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，到底學(xué)的是什么?

不同的階段，它們的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間到底有什么不同，有沒有聯(lián)系呢？

如果有聯(lián)系，又是如何發(fā)展的呢？

在學(xué)習(xí)低階段的數(shù)學(xué)時，能否為高階段的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)？

能不能從中找到解決小初銜接，初高銜接之間問題的方法？

可惜會去主動思考這些問題的人很少！

老師們一般都只關(guān)注自己所處的階段，而家長們，或者沒有專業(yè)背景，有心無力，或者沒有意識到這一問題的重要性！

但是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從小學(xué)開始，到高中結(jié)束，這是一個完整的系統(tǒng)，搞清楚它的發(fā)展脈絡(luò)、在每一階段的主要任務(wù)，用一盤棋的觀點去看待整個數(shù)學(xué)體系，不管是對于老師或者家長，都是非常有用的。

與家長而言，能夠做到心里有數(shù)，知道如何把握孩子的學(xué)習(xí)方向。

與老師而言，可以將低階段的知識與高階段中的知識相對接，從而幫助學(xué)生減少階段銜接時面臨的壓力。

數(shù)學(xué)的整個體系主要可以分成三條線，代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計，這三條線貫穿十二年學(xué)習(xí)的始終，今天我們主要來聊一聊代數(shù)！

首先請大家看下面這個表格：（參照人教版）

這是從小學(xué)一年級開始一直到高二，所有的代數(shù)內(nèi)容。

簡單概括一下，整個代數(shù)體系的脈絡(luò)就是： 數(shù)系的擴(kuò)充，運算的復(fù)雜，常量到變量。

?數(shù)系的擴(kuò)充：

一二年級主要研究的是自然數(shù)。

三四年級開始研究小數(shù)，五六年級開始研究分?jǐn)?shù)。這里家長要知道，小數(shù)和分?jǐn)?shù)是有非常緊密的聯(lián)系的，實際上除了無限不循環(huán)小數(shù)之外，其他的小數(shù)，不論是有限小數(shù)，亦或是無限循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，而 分 數(shù)其實就是有理數(shù) ！

而有理數(shù)的概念到七年級上冊會講，讓學(xué)生提前形成這個概念后，就可以和初中銜接起來。

到六年級下冊，會學(xué)到負(fù)數(shù)，數(shù)系的范圍會進(jìn)一步擴(kuò)大。

七年級下冊，會學(xué)到無理數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)合稱為實數(shù) ，由此數(shù)系的擴(kuò)充告一段落?？梢哉f整個初高中代數(shù)的研究范圍，就是在實數(shù)范圍內(nèi)。

再擴(kuò)充就到高二下學(xué)期引入復(fù)數(shù)的概念了。

數(shù)系的擴(kuò)展其實是一個填充數(shù)軸的過程，知道數(shù)軸的家長，可以將自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)這種數(shù)系的擴(kuò)展通過數(shù)軸的填充展示給孩子，也是一種數(shù)形結(jié)合。

而且很容易孩子就會想到，如果一條數(shù)軸不夠，那么再加一條數(shù)軸，一個坐標(biāo)平面會表示什么數(shù)？

自然可以引出復(fù)數(shù)的概念！

?運算的復(fù)雜：

一年級研究的是加減法。

二年級開始研究乘除法，開始加減乘除的混合運算。

之后的運算是隨著數(shù)系的擴(kuò)充，在這些數(shù)系范圍內(nèi)進(jìn)行加減乘除的混合運算。

這一過程會一直持續(xù)到七年級上冊的有理數(shù)，會學(xué)習(xí)到乘方，無理數(shù)中會涉及到開方，到此運算基本告一段落，再學(xué)習(xí)新運算就要到高一必修一學(xué)習(xí)對數(shù)運算了。

其實乘方、開方、對數(shù)運算三者互為逆運算，有條件的家長在這里給學(xué)生拓展一些，到高中之后，學(xué)生就不會面對對數(shù)運算束手無策了。

當(dāng)高二下學(xué)期學(xué)完復(fù)數(shù)的概念，運算告一段落。

需要提一下的是，六年級上會涉及到比這一概念，而比例關(guān)系是初中證明相似的主要工具，而相似關(guān)系又是初中平面幾何的主要問題！

在學(xué)習(xí)這一部分時，家長其實可以利用相似三角形來舉例，一舉兩得。

?常量到變量：

小學(xué)數(shù)學(xué)之所以又被稱之為算術(shù)，就是因為小學(xué)代數(shù)的主要內(nèi)容就是常量的運算。只在小學(xué)五年級上冊會涉及到變量，用字母表示數(shù)，還有一點方程的知識，而且相當(dāng)簡單，是不需要移項的一元一次方程。

雖然內(nèi)容很少，但非常重要，可以說是整個初高中的基礎(chǔ)，在這里，家長要幫助孩子掌握好方程所代表的思想方法，因為雖然方程形式有簡單復(fù)雜，但是其背后蘊含的思想方法是一致的。

有能力的家長可以在這里給學(xué)生引申，這樣在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)一元一次方程時，就比較好銜接了。

而在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)的整式的加減，就是對小學(xué)五年級用字母表示數(shù)的拓展，這是從常量到變量的開始，從此以后的代數(shù)研究，不管是方程、不等式還是函數(shù)，都是對變量的研究。

其實在小學(xué)教材中，有一個點很適合作為學(xué)習(xí)變量的素材，那就是一年級下冊的找規(guī)律！找規(guī)律其實就是高中的數(shù)列，而高中的數(shù)列本質(zhì)就是函數(shù)。

數(shù)列中每一項的值都隨著項數(shù)的變化而變化，完全可以滲透變量的概念！

甚至數(shù)列項數(shù)和每一項的值之間的對應(yīng)關(guān)系非常明確，可以作為學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念的素材。

秘?常量到變量，這是代數(shù)中小學(xué)到初中一個非常大的變化。

到了初中， 關(guān)于變量有兩個方向，一個是方程，主要有一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程， 另一個是函數(shù)，主要有一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)。

這兩者是初中代數(shù)的主體，也是中考的重點內(nèi)容，尤其是二次函數(shù)更是壓軸的存在。

這兩者是有聯(lián)系的， 比如二元一次方程，完全可以轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)的形式， 雖然在本質(zhì)上方程和函數(shù)是不太一樣的，但在這里，完全可以用研究一次函數(shù)的方法，比如 畫圖像去研究二元一次方程，會發(fā)現(xiàn)原來直線可以用二元一次方程去表示。

這其實就是高中解析幾何的思路，和高一上學(xué)期必修二的解析幾何結(jié)合在一起了。

?當(dāng)然不僅于此， 一元一次函數(shù)和一元一次方程，乃至一元一次不等式有著非常緊密的聯(lián)系，一元二次函數(shù)和一元二次方程也是如此。

從圖像的角度來講，一元方程本質(zhì)就是一元函數(shù)與x軸相交，相應(yīng)的不等式對應(yīng)的就是圖像在x軸上下的部分。

這種數(shù)形結(jié)合的思路，用函數(shù)觀點看待不等式和方程的思想，在高中也是非常有用的，尤其是二次函數(shù)方程不等式，在高一必修一中還有涉及，是初高銜接的點之一。

二元一次方程組的解法基本思路是消元，設(shè)未知數(shù)，消未知數(shù)，即使在高中也是有用的，比如在解析幾何中。

之所以在這里著墨甚多，是因為函數(shù)極其重要，可以這樣說，它的重要性遠(yuǎn)超幾何。

從中考來說，可以這么說，孩子能不能考上本地最好的學(xué)校，就看二次函數(shù)這道題了。

從初高銜接來說，高中的很多章節(jié)本身就是函數(shù)，相關(guān)章節(jié)也有很多，可以這樣說，除了三角恒等變換和復(fù)數(shù)之外，其他的代數(shù)內(nèi)容都與函數(shù)有關(guān)系。更重要的是，高中數(shù)學(xué)在新課程標(biāo)準(zhǔn)中呈現(xiàn)出非常強(qiáng)的代數(shù)化趨勢。

比如 高中的立體幾何證明，已經(jīng)不再運用初中幾何的綜合證明法了，而是利用空間向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算問題了。

而 高中所學(xué)的解析幾何的基本思想更是直接把幾何圖形轉(zhuǎn)化為方程，通過研究方程去研究幾何性質(zhì)與關(guān)系！

雖然，高中數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出非常強(qiáng)的代數(shù)化趨勢，但圖像仍然是輔助研究函數(shù)性質(zhì)、方程問題的主要工具，這就是所謂的數(shù)形結(jié)合！

所以又回到我們剛才所講的問題，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，在我們的輔導(dǎo)中， 一定要加強(qiáng)孩子對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用！

所以初高中學(xué)習(xí)的銜接不應(yīng)該存在于某一個點，而應(yīng)該是貫穿于初中學(xué)習(xí)的始終！

小初銜接亦是如此！

?高中數(shù)學(xué)是小初高數(shù)學(xué)的頂點，整個小初階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是為了高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備工作的！

就代數(shù)而言，在進(jìn)入高中之前，要讓孩子做好哪些準(zhǔn)備呢？

應(yīng)該有一個比較強(qiáng)的運算能力，對于函數(shù)，方程，不等式相互關(guān)系比較清楚的認(rèn)識，數(shù)形結(jié)合的能力。

在 高中代數(shù)的主線就是函數(shù)，而研究函數(shù)的核心是定義，高中函數(shù)的定義與初中函數(shù)的定義是有區(qū)別的，強(qiáng)調(diào)的是對應(yīng)，這種思想，在初中一定要給學(xué)生滲透，否則到高中他們很難馬上理解。

先研究函數(shù)的新定義，表示和性質(zhì)，比如單調(diào)性、奇偶性、周期性，然后用初中學(xué)過的二次函數(shù)作為素材，運用新學(xué)過的知識重新研究，之后引入新的兩種函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)與方程的關(guān)系。

然后學(xué)習(xí)研究單調(diào)性的工具，即微積分初步——導(dǎo)數(shù)。

除此之外，直接的外延有三角函數(shù)，也是函數(shù)的一種，還有數(shù)列，是函數(shù)的一種特殊情況。

之所以把初中的三角函數(shù)放進(jìn)代數(shù)部分，就是因為其對應(yīng)的高中知識，主要是在代數(shù)范疇之內(nèi)。

但是初高中的三角函數(shù)差別之大，幾乎是兩個不同的章節(jié)，唯一的聯(lián)系就是三角比的定義。

基本上整個代數(shù)的分析就是這個樣子了，因為比較倉促，有些東西沒有展開講，比如小學(xué)教材中的思維廣角，其前衛(wèi)程度簡直讓人咂舌，很多知識其實是高中知識。